Selesaikan {r}{-2x+9y=8}{x-2y=6}

$$\left. \begin{array} { r } { - 2 x + 9 y = 8 } \\ { x - 2 y = 6 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=14$$

$$y=4$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$-2x+9y=8,x-2y=6$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$-2x+9y=8$$

Tolak 9y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-2x=-9y+8$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -2.

$$x=-\frac{1}{2}\left(-9y+8\right)$$

Darabkan -\frac{1}{2} kali -9y+8.

$$x=\frac{9}{2}y-4$$

Gantikan \frac{9y}{2}-4 dengan x dalam persamaan lain, x-2y=6.

$$\frac{9}{2}y-4-2y=6$$

Tambahkan \frac{9y}{2} pada -2y.

$$\frac{5}{2}y-4=6$$

Tambahkan 4 pada kedua-dua belah persamaan.

$$\frac{5}{2}y=10$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan \frac{5}{2} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=4$$

Gantikan 4 dengan y dalam x=\frac{9}{2}y-4. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=\frac{9}{2}\times 4-4$$

Darabkan \frac{9}{2} kali 4.

$$x=18-4$$

Tambahkan -4 pada 18.

$$x=14$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=14,y=4$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$-2x+9y=8,x-2y=6$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}-2&9\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}-2&9\\1&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-2&9\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2&9\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&9\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&9\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&9\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{-2\left(-2\right)-9}&-\frac{9}{-2\left(-2\right)-9}\\-\frac{1}{-2\left(-2\right)-9}&-\frac{2}{-2\left(-2\right)-9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}&\frac{9}{5}\\\frac{1}{5}&\frac{2}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}\times 8+\frac{9}{5}\times 6\\\frac{1}{5}\times 8+\frac{2}{5}\times 6\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}14\\4\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=14,y=4$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$-2x+9y=8,x-2y=6$$

Untuk menjadikan -2x dan x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 1 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan -2.

$$-2x+9y=8,-2x-2\left(-2\right)y=-2\times 6$$

Permudahkan.

$$-2x+9y=8,-2x+4y=-12$$

Tolak -2x+4y=-12 daripada -2x+9y=8 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$-2x+2x+9y-4y=8+12$$

Tambahkan -2x pada 2x. Seubtan -2x dan 2x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$9y-4y=8+12$$

Tambahkan 9y pada -4y.

$$5y=8+12$$

Tambahkan 8 pada 12.

$$5y=20$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 5.

$$y=4$$

Gantikan 4 dengan y dalam x-2y=6. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x-2\times 4=6$$

Darabkan -2 kali 4.

$$x-8=6$$

Tambahkan 8 pada kedua-dua belah persamaan.

$$x=14$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=14,y=4$$