Selesaikan {r}{x+1/2+y-1/3=8}{x-1/3+y+1/2=9}

$$\left. \begin{array} { r } { \frac { x + 1 } { 2 } + \frac { y - 1 } { 3 } = 8 } \\ { \frac { x - 1 } { 3 } + \frac { y + 1 } { 2 } = 9 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=7$$

$$y=13$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$\frac{1}{2}\left(x+1\right)+\frac{1}{3}\left(y-1\right)=8,\frac{1}{3}\left(x-1\right)+\frac{1}{2}\left(y+1\right)=9$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\frac{1}{2}\left(x+1\right)+\frac{1}{3}\left(y-1\right)=8$$

Darabkan \frac{1}{2} kali x+1.

$$\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}\left(y-1\right)=8$$

Darabkan \frac{1}{3} kali y-1.

$$\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}y-\frac{1}{3}=8$$

Tambahkan \frac{1}{2} pada -\frac{1}{3} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}y+\frac{1}{6}=8$$

Tolak \frac{1}{6} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}y=\frac{47}{6}$$

Tolak \frac{y}{3} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$\frac{1}{2}x=-\frac{1}{3}y+\frac{47}{6}$$

Darabkan kedua-dua belah dengan 2.

$$x=2\left(-\frac{1}{3}y+\frac{47}{6}\right)$$

Darabkan 2 kali -\frac{y}{3}+\frac{47}{6}.

$$x=-\frac{2}{3}y+\frac{47}{3}$$

Gantikan \frac{-2y+47}{3} dengan x dalam persamaan lain, \frac{1}{3}\left(x-1\right)+\frac{1}{2}\left(y+1\right)=9.

$$\frac{1}{3}\left(-\frac{2}{3}y+\frac{47}{3}-1\right)+\frac{1}{2}\left(y+1\right)=9$$

Tambahkan \frac{47}{3} pada -1.

$$\frac{1}{3}\left(-\frac{2}{3}y+\frac{44}{3}\right)+\frac{1}{2}\left(y+1\right)=9$$

Darabkan \frac{1}{3} kali \frac{-2y+44}{3}.

$$-\frac{2}{9}y+\frac{44}{9}+\frac{1}{2}\left(y+1\right)=9$$

Darabkan \frac{1}{2} kali y+1.

$$-\frac{2}{9}y+\frac{44}{9}+\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}=9$$

Tambahkan -\frac{2y}{9} pada \frac{y}{2}.

$$\frac{5}{18}y+\frac{44}{9}+\frac{1}{2}=9$$

Tambahkan \frac{44}{9} pada \frac{1}{2} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$\frac{5}{18}y+\frac{97}{18}=9$$

Tolak \frac{97}{18} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$\frac{5}{18}y=\frac{65}{18}$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan \frac{5}{18} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=13$$

Gantikan 13 dengan y dalam x=-\frac{2}{3}y+\frac{47}{3}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-\frac{2}{3}\times 13+\frac{47}{3}$$

Darabkan -\frac{2}{3} kali 13.

$$x=\frac{-26+47}{3}$$

Tambahkan \frac{47}{3} pada -\frac{26}{3} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x=7$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=7,y=13$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$\frac{1}{2}\left(x+1\right)+\frac{1}{3}\left(y-1\right)=8,\frac{1}{3}\left(x-1\right)+\frac{1}{2}\left(y+1\right)=9$$

Permudahkan persamaan pertama untuk meletakkannya dalam bentuk piawai.

$$\frac{1}{2}\left(x+1\right)+\frac{1}{3}\left(y-1\right)=8$$

Darabkan \frac{1}{2} kali x+1.

$$\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}\left(y-1\right)=8$$

Darabkan \frac{1}{3} kali y-1.

$$\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}y-\frac{1}{3}=8$$

Tambahkan \frac{1}{2} pada -\frac{1}{3} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}y+\frac{1}{6}=8$$

Tolak \frac{1}{6} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}y=\frac{47}{6}$$

Permudahkan persamaan kedua untuk meletakkannya dalam bentuk piawai.

$$\frac{1}{3}\left(x-1\right)+\frac{1}{2}\left(y+1\right)=9$$

Darabkan \frac{1}{3} kali x-1.

$$\frac{1}{3}x-\frac{1}{3}+\frac{1}{2}\left(y+1\right)=9$$

Darabkan \frac{1}{2} kali y+1.

$$\frac{1}{3}x-\frac{1}{3}+\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}=9$$

Tambahkan -\frac{1}{3} pada \frac{1}{2} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$\frac{1}{3}x+\frac{1}{2}y+\frac{1}{6}=9$$

Tolak \frac{1}{6} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$\frac{1}{3}x+\frac{1}{2}y=\frac{53}{6}$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{3}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{47}{6}\\\frac{53}{6}\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{3}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{3}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{3}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{3}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{47}{6}\\\frac{53}{6}\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{3}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{47}{6}\\\frac{53}{6}\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{3}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{47}{6}\\\frac{53}{6}\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}\times \frac{1}{2}-\frac{1}{3}\times \frac{1}{3}}&-\frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{2}\times \frac{1}{2}-\frac{1}{3}\times \frac{1}{3}}\\-\frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{2}\times \frac{1}{2}-\frac{1}{3}\times \frac{1}{3}}&\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}\times \frac{1}{2}-\frac{1}{3}\times \frac{1}{3}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}\frac{47}{6}\\\frac{53}{6}\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{18}{5}&-\frac{12}{5}\\-\frac{12}{5}&\frac{18}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}\frac{47}{6}\\\frac{53}{6}\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{18}{5}\times \frac{47}{6}-\frac{12}{5}\times \frac{53}{6}\\-\frac{12}{5}\times \frac{47}{6}+\frac{18}{5}\times \frac{53}{6}\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\13\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=7,y=13$$