Selesaikan {r}{2(x+1)/3-y=-3}{3(x+5-y)+3x=12}

$$\left. \begin{array} { r } { \frac { 2 ( x + 1 ) } { 3 } - y = - 3 } \\ { 3 ( x + 5 - y ) + 3 x = 12 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=2$$

$$y=5$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Pertimbangkan persamaan pertama. Darabkan kedua-dua belah persamaan dengan 3.

$$2\left(x+1\right)-3y=-9$$

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab 2 dengan x+1.

$$2x+2-3y=-9$$

Tolak 2 daripada kedua-dua belah.

$$2x-3y=-9-2$$

Tolak 2 daripada -9 untuk mendapatkan -11.

$$2x-3y=-11$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab 3 dengan x+5-y.

$$3x+15-3y+3x=12$$

Gabungkan 3x dan 3x untuk mendapatkan 6x.

$$6x+15-3y=12$$

Tolak 15 daripada kedua-dua belah.

$$6x-3y=12-15$$

Tolak 15 daripada 12 untuk mendapatkan -3.

$$6x-3y=-3$$

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$2x-3y=-11,6x-3y=-3$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$2x-3y=-11$$

Tambahkan 3y pada kedua-dua belah persamaan.

$$2x=3y-11$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(3y-11\right)$$

Darabkan \frac{1}{2} kali 3y-11.

$$x=\frac{3}{2}y-\frac{11}{2}$$

Gantikan \frac{3y-11}{2} dengan x dalam persamaan lain, 6x-3y=-3.

$$6\left(\frac{3}{2}y-\frac{11}{2}\right)-3y=-3$$

Darabkan 6 kali \frac{3y-11}{2}.

$$9y-33-3y=-3$$

Tambahkan 9y pada -3y.

$$6y-33=-3$$

Tambahkan 33 pada kedua-dua belah persamaan.

$$6y=30$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 6.

$$y=5$$

Gantikan 5 dengan y dalam x=\frac{3}{2}y-\frac{11}{2}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=\frac{3}{2}\times 5-\frac{11}{2}$$

Darabkan \frac{3}{2} kali 5.

$$x=\frac{15-11}{2}$$

Tambahkan -\frac{11}{2} pada \frac{15}{2} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x=2$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=2,y=5$$

Langkah Menggunakan Matriks

Pertimbangkan persamaan pertama. Darabkan kedua-dua belah persamaan dengan 3.

$$2\left(x+1\right)-3y=-9$$

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab 2 dengan x+1.

$$2x+2-3y=-9$$

Tolak 2 daripada kedua-dua belah.

$$2x-3y=-9-2$$

Tolak 2 daripada -9 untuk mendapatkan -11.

$$2x-3y=-11$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab 3 dengan x+5-y.

$$3x+15-3y+3x=12$$

Gabungkan 3x dan 3x untuk mendapatkan 6x.

$$6x+15-3y=12$$

Tolak 15 daripada kedua-dua belah.

$$6x-3y=12-15$$

Tolak 15 daripada 12 untuk mendapatkan -3.

$$6x-3y=-3$$

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$2x-3y=-11,6x-3y=-3$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\6&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-11\\-3\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}2&-3\\6&-3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\6&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\6&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\6&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-11\\-3\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\6&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-11\\-3\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\6&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-11\\-3\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{2\left(-3\right)-\left(-3\times 6\right)}&-\frac{-3}{2\left(-3\right)-\left(-3\times 6\right)}\\-\frac{6}{2\left(-3\right)-\left(-3\times 6\right)}&\frac{2}{2\left(-3\right)-\left(-3\times 6\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-11\\-3\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\\-\frac{1}{2}&\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-11\\-3\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}\left(-11\right)+\frac{1}{4}\left(-3\right)\\-\frac{1}{2}\left(-11\right)+\frac{1}{6}\left(-3\right)\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\5\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=2,y=5$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Pertimbangkan persamaan pertama. Darabkan kedua-dua belah persamaan dengan 3.

$$2\left(x+1\right)-3y=-9$$

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab 2 dengan x+1.

$$2x+2-3y=-9$$

Tolak 2 daripada kedua-dua belah.

$$2x-3y=-9-2$$

Tolak 2 daripada -9 untuk mendapatkan -11.

$$2x-3y=-11$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab 3 dengan x+5-y.

$$3x+15-3y+3x=12$$

Gabungkan 3x dan 3x untuk mendapatkan 6x.

$$6x+15-3y=12$$

Tolak 15 daripada kedua-dua belah.

$$6x-3y=12-15$$

Tolak 15 daripada 12 untuk mendapatkan -3.

$$6x-3y=-3$$

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$2x-3y=-11,6x-3y=-3$$

Tolak 6x-3y=-3 daripada 2x-3y=-11 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$2x-6x-3y+3y=-11+3$$

Tambahkan -3y pada 3y. Seubtan -3y dan 3y saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$2x-6x=-11+3$$

Tambahkan 2x pada -6x.

$$-4x=-11+3$$

Tambahkan -11 pada 3.

$$-4x=-8$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -4.

$$x=2$$

Gantikan 2 dengan x dalam 6x-3y=-3. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk y.

$$6\times 2-3y=-3$$

Darabkan 6 kali 2.

$$12-3y=-3$$

Tolak 12 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-3y=-15$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -3.

$$y=5$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=2,y=5$$