Selesaikan {l}{y=x+1}{y=3x+2}

$$\left. \begin{array} { l } { y = x + 1 } \\ { y = 3 x + 2 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk y, x

$$x=-\frac{1}{2}=-0.5$$

$$y=\frac{1}{2}=0.5$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Pertimbangkan persamaan pertama. Tolak x daripada kedua-dua belah.

$$y-x=1$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Tolak 3x daripada kedua-dua belah.

$$y-3x=2$$

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$y-x=1,y-3x=2$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk y dengan mengasingkan y di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$y-x=1$$

Tambahkan x pada kedua-dua belah persamaan.

$$y=x+1$$

Gantikan x+1 dengan y dalam persamaan lain, y-3x=2.

$$x+1-3x=2$$

Tambahkan x pada -3x.

$$-2x+1=2$$

Tolak 1 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-2x=1$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -2.

$$x=-\frac{1}{2}$$

Gantikan -\frac{1}{2} dengan x dalam y=x+1. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk y.

$$y=-\frac{1}{2}+1$$

Tambahkan 1 pada -\frac{1}{2}.

$$y=\frac{1}{2}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$y=\frac{1}{2},x=-\frac{1}{2}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Pertimbangkan persamaan pertama. Tolak x daripada kedua-dua belah.

$$y-x=1$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Tolak 3x daripada kedua-dua belah.

$$y-3x=2$$

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$y-x=1,y-3x=2$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}1&-1\\1&-3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{-3-\left(-1\right)}&-\frac{-1}{-3-\left(-1\right)}\\-\frac{1}{-3-\left(-1\right)}&\frac{1}{-3-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}&-\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}-\frac{1}{2}\times 2\\\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\times 2\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\\-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks y dan x.

$$y=\frac{1}{2},x=-\frac{1}{2}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Pertimbangkan persamaan pertama. Tolak x daripada kedua-dua belah.

$$y-x=1$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Tolak 3x daripada kedua-dua belah.

$$y-3x=2$$

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$y-x=1,y-3x=2$$

Tolak y-3x=2 daripada y-x=1 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$y-y-x+3x=1-2$$

Tambahkan y pada -y. Seubtan y dan -y saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$-x+3x=1-2$$

Tambahkan -x pada 3x.

$$2x=1-2$$

Tambahkan 1 pada -2.

$$2x=-1$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$x=-\frac{1}{2}$$

Gantikan -\frac{1}{2} dengan x dalam y-3x=2. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk y.

$$y-3\left(-\frac{1}{2}\right)=2$$

Darabkan -3 kali -\frac{1}{2}.

$$y+\frac{3}{2}=2$$

Tolak \frac{3}{2} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$y=\frac{1}{2}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$y=\frac{1}{2},x=-\frac{1}{2}$$