Selesaikan {l}{y=8x-18}{y=x-4}

$$\left. \begin{array} { l } { y = 8 x - 18 } \\ { y = x - 4 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk y, x

$$x=2$$

$$y=-2$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Pertimbangkan persamaan pertama. Tolak 8x daripada kedua-dua belah.

$$y-8x=-18$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Tolak x daripada kedua-dua belah.

$$y-x=-4$$

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$y-8x=-18,y-x=-4$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk y dengan mengasingkan y di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$y-8x=-18$$

Tambahkan 8x pada kedua-dua belah persamaan.

$$y=8x-18$$

Gantikan 8x-18 dengan y dalam persamaan lain, y-x=-4.

$$8x-18-x=-4$$

Tambahkan 8x pada -x.

$$7x-18=-4$$

Tambahkan 18 pada kedua-dua belah persamaan.

$$7x=14$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 7.

$$x=2$$

Gantikan 2 dengan x dalam y=8x-18. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk y.

$$y=8\times 2-18$$

Darabkan 8 kali 2.

$$y=16-18$$

Tambahkan -18 pada 16.

$$y=-2$$

Sistem kini diselesaikan.

$$y=-2,x=2$$

Langkah Menggunakan Matriks

Pertimbangkan persamaan pertama. Tolak 8x daripada kedua-dua belah.

$$y-8x=-18$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Tolak x daripada kedua-dua belah.

$$y-x=-4$$

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$y-8x=-18,y-x=-4$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}1&-8\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-18\\-4\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}1&-8\\1&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-8\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-8\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-8\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-18\\-4\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-8\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-18\\-4\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-8\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-18\\-4\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-\left(-8\right)}&-\frac{-8}{-1-\left(-8\right)}\\-\frac{1}{-1-\left(-8\right)}&\frac{1}{-1-\left(-8\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-18\\-4\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{7}&\frac{8}{7}\\-\frac{1}{7}&\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-18\\-4\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{7}\left(-18\right)+\frac{8}{7}\left(-4\right)\\-\frac{1}{7}\left(-18\right)+\frac{1}{7}\left(-4\right)\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\2\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks y dan x.

$$y=-2,x=2$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Pertimbangkan persamaan pertama. Tolak 8x daripada kedua-dua belah.

$$y-8x=-18$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Tolak x daripada kedua-dua belah.

$$y-x=-4$$

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$y-8x=-18,y-x=-4$$

Tolak y-x=-4 daripada y-8x=-18 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$y-y-8x+x=-18+4$$

Tambahkan y pada -y. Seubtan y dan -y saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$-8x+x=-18+4$$

Tambahkan -8x pada x.

$$-7x=-18+4$$

Tambahkan -18 pada 4.

$$-7x=-14$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -7.

$$x=2$$

Gantikan 2 dengan x dalam y-x=-4. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk y.

$$y-2=-4$$

Tambahkan 2 pada kedua-dua belah persamaan.

$$y=-2$$

Sistem kini diselesaikan.

$$y=-2,x=2$$