Selesaikan {l}{y=6x}{x+y+y=315.9}

$$\left. \begin{array} { l } { y = 6 x } \\ { x + y + y = 315.9 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk y, x

$$x=24.3$$

$$y=145.8$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Pertimbangkan persamaan pertama. Tolak 6x daripada kedua-dua belah.

$$y-6x=0$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Gabungkan y dan y untuk mendapatkan 2y.

$$x+2y=315.9$$

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$y-6x=0,2y+x=315.9$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk y dengan mengasingkan y di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$y-6x=0$$

Tambahkan 6x pada kedua-dua belah persamaan.

$$y=6x$$

Gantikan 6x dengan y dalam persamaan lain, 2y+x=315.9.

$$2\times 6x+x=315.9$$

Darabkan 2 kali 6x.

$$12x+x=315.9$$

Tambahkan 12x pada x.

$$13x=315.9$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 13.

$$x=24.3$$

Gantikan 24.3 dengan x dalam y=6x. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk y.

$$y=6\times 24.3$$

Darabkan 6 kali 24.3.

$$y=145.8$$

Sistem kini diselesaikan.

$$y=145.8,x=24.3$$

Langkah Menggunakan Matriks

Pertimbangkan persamaan pertama. Tolak 6x daripada kedua-dua belah.

$$y-6x=0$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Gabungkan y dan y untuk mendapatkan 2y.

$$x+2y=315.9$$

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$y-6x=0,2y+x=315.9$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}1&-6\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\315.9\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}1&-6\\2&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-6\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-6\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-6\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\315.9\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-6\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\315.9\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-6\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\315.9\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-6\times 2\right)}&-\frac{-6}{1-\left(-6\times 2\right)}\\-\frac{2}{1-\left(-6\times 2\right)}&\frac{1}{1-\left(-6\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\315.9\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{13}&\frac{6}{13}\\-\frac{2}{13}&\frac{1}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\315.9\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{13}\times 315.9\\\frac{1}{13}\times 315.9\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{729}{5}\\\frac{243}{10}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks y dan x.

$$y=\frac{729}{5},x=\frac{243}{10}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Pertimbangkan persamaan pertama. Tolak 6x daripada kedua-dua belah.

$$y-6x=0$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Gabungkan y dan y untuk mendapatkan 2y.

$$x+2y=315.9$$

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$y-6x=0,2y+x=315.9$$

Untuk menjadikan y dan 2y sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 2 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 1.

$$2y+2\left(-6\right)x=0,2y+x=315.9$$

Permudahkan.

$$2y-12x=0,2y+x=315.9$$

Tolak 2y+x=315.9 daripada 2y-12x=0 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$2y-2y-12x-x=-315.9$$

Tambahkan 2y pada -2y. Seubtan 2y dan -2y saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$-12x-x=-315.9$$

Tambahkan -12x pada -x.

$$-13x=-315.9$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -13.

$$x=\frac{243}{10}$$

Gantikan \frac{243}{10} dengan x dalam 2y+x=315.9. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk y.

$$2y+\frac{243}{10}=315.9$$

Tolak \frac{243}{10} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$2y=\frac{1458}{5}$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$y=\frac{729}{5}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$y=\frac{729}{5},x=\frac{243}{10}$$