Selesaikan {l}{y=5x+3}{y=-2x-4}

$$\left. \begin{array} { l } { y = 5 x + 3 } \\ { y = - 2 x - 4 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk y, x

$$x=-1$$

$$y=-2$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Pertimbangkan persamaan pertama. Tolak 5x daripada kedua-dua belah.

$$y-5x=3$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Tambahkan 2x pada kedua-dua belah.

$$y+2x=-4$$

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$y-5x=3,y+2x=-4$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk y dengan mengasingkan y di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$y-5x=3$$

Tambahkan 5x pada kedua-dua belah persamaan.

$$y=5x+3$$

Gantikan 5x+3 dengan y dalam persamaan lain, y+2x=-4.

$$5x+3+2x=-4$$

Tambahkan 5x pada 2x.

$$7x+3=-4$$

Tolak 3 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$7x=-7$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 7.

$$x=-1$$

Gantikan -1 dengan x dalam y=5x+3. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk y.

$$y=5\left(-1\right)+3$$

Darabkan 5 kali -1.

$$y=-5+3$$

Tambahkan 3 pada -5.

$$y=-2$$

Sistem kini diselesaikan.

$$y=-2,x=-1$$

Langkah Menggunakan Matriks

Pertimbangkan persamaan pertama. Tolak 5x daripada kedua-dua belah.

$$y-5x=3$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Tambahkan 2x pada kedua-dua belah.

$$y+2x=-4$$

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$y-5x=3,y+2x=-4$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}1&-5\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-4\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}1&-5\\1&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-5\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-5\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-5\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-4\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-5\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-4\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-5\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-4\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2-\left(-5\right)}&-\frac{-5}{2-\left(-5\right)}\\-\frac{1}{2-\left(-5\right)}&\frac{1}{2-\left(-5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\-4\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7}&\frac{5}{7}\\-\frac{1}{7}&\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\-4\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7}\times 3+\frac{5}{7}\left(-4\right)\\-\frac{1}{7}\times 3+\frac{1}{7}\left(-4\right)\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\-1\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks y dan x.

$$y=-2,x=-1$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Pertimbangkan persamaan pertama. Tolak 5x daripada kedua-dua belah.

$$y-5x=3$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Tambahkan 2x pada kedua-dua belah.

$$y+2x=-4$$

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$y-5x=3,y+2x=-4$$

Tolak y+2x=-4 daripada y-5x=3 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$y-y-5x-2x=3+4$$

Tambahkan y pada -y. Seubtan y dan -y saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$-5x-2x=3+4$$

Tambahkan -5x pada -2x.

$$-7x=3+4$$

Tambahkan 3 pada 4.

$$-7x=7$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -7.

$$x=-1$$

Gantikan -1 dengan x dalam y+2x=-4. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk y.

$$y+2\left(-1\right)=-4$$

Darabkan 2 kali -1.

$$y-2=-4$$

Tambahkan 2 pada kedua-dua belah persamaan.

$$y=-2$$

Sistem kini diselesaikan.

$$y=-2,x=-1$$