Selesaikan {l}{y=4x-9}{y=x-3}

$$\left. \begin{array} { l } { y = 4 x - 9 } \\ { y = x - 3 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk y, x

$$x=2$$

$$y=-1$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Pertimbangkan persamaan pertama. Tolak 4x daripada kedua-dua belah.

$$y-4x=-9$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Tolak x daripada kedua-dua belah.

$$y-x=-3$$

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$y-4x=-9,y-x=-3$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk y dengan mengasingkan y di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$y-4x=-9$$

Tambahkan 4x pada kedua-dua belah persamaan.

$$y=4x-9$$

Gantikan 4x-9 dengan y dalam persamaan lain, y-x=-3.

$$4x-9-x=-3$$

Tambahkan 4x pada -x.

$$3x-9=-3$$

Tambahkan 9 pada kedua-dua belah persamaan.

$$3x=6$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 3.

$$x=2$$

Gantikan 2 dengan x dalam y=4x-9. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk y.

$$y=4\times 2-9$$

Darabkan 4 kali 2.

$$y=8-9$$

Tambahkan -9 pada 8.

$$y=-1$$

Sistem kini diselesaikan.

$$y=-1,x=2$$

Langkah Menggunakan Matriks

Pertimbangkan persamaan pertama. Tolak 4x daripada kedua-dua belah.

$$y-4x=-9$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Tolak x daripada kedua-dua belah.

$$y-x=-3$$

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$y-4x=-9,y-x=-3$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}1&-4\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-9\\-3\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}1&-4\\1&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-4\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\-3\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\-3\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\-3\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-\left(-4\right)}&-\frac{-4}{-1-\left(-4\right)}\\-\frac{1}{-1-\left(-4\right)}&\frac{1}{-1-\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\-3\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}&\frac{4}{3}\\-\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\-3\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\left(-9\right)+\frac{4}{3}\left(-3\right)\\-\frac{1}{3}\left(-9\right)+\frac{1}{3}\left(-3\right)\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\2\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks y dan x.

$$y=-1,x=2$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Pertimbangkan persamaan pertama. Tolak 4x daripada kedua-dua belah.

$$y-4x=-9$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Tolak x daripada kedua-dua belah.

$$y-x=-3$$

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$y-4x=-9,y-x=-3$$

Tolak y-x=-3 daripada y-4x=-9 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$y-y-4x+x=-9+3$$

Tambahkan y pada -y. Seubtan y dan -y saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$-4x+x=-9+3$$

Tambahkan -4x pada x.

$$-3x=-9+3$$

Tambahkan -9 pada 3.

$$-3x=-6$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -3.

$$x=2$$

Gantikan 2 dengan x dalam y-x=-3. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk y.

$$y-2=-3$$

Tambahkan 2 pada kedua-dua belah persamaan.

$$y=-1$$

Sistem kini diselesaikan.

$$y=-1,x=2$$