Selesaikan {l}{y=4x-5}{y=2x+3}

$$\left. \begin{array} { l } { y = 4 x - 5 } \\ { y = 2 x + 3 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk y, x

$$x=4$$

$$y=11$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Pertimbangkan persamaan pertama. Tolak 4x daripada kedua-dua belah.

$$y-4x=-5$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Tolak 2x daripada kedua-dua belah.

$$y-2x=3$$

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$y-4x=-5,y-2x=3$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk y dengan mengasingkan y di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$y-4x=-5$$

Tambahkan 4x pada kedua-dua belah persamaan.

$$y=4x-5$$

Gantikan 4x-5 dengan y dalam persamaan lain, y-2x=3.

$$4x-5-2x=3$$

Tambahkan 4x pada -2x.

$$2x-5=3$$

Tambahkan 5 pada kedua-dua belah persamaan.

$$2x=8$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$x=4$$

Gantikan 4 dengan x dalam y=4x-5. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk y.

$$y=4\times 4-5$$

Darabkan 4 kali 4.

$$y=16-5$$

Tambahkan -5 pada 16.

$$y=11$$

Sistem kini diselesaikan.

$$y=11,x=4$$

Langkah Menggunakan Matriks

Pertimbangkan persamaan pertama. Tolak 4x daripada kedua-dua belah.

$$y-4x=-5$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Tolak 2x daripada kedua-dua belah.

$$y-2x=3$$

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$y-4x=-5,y-2x=3$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}1&-4\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\3\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}1&-4\\1&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-4\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\3\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\3\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\3\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{-2-\left(-4\right)}&-\frac{-4}{-2-\left(-4\right)}\\-\frac{1}{-2-\left(-4\right)}&\frac{1}{-2-\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\3\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&2\\-\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\3\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\left(-5\right)+2\times 3\\-\frac{1}{2}\left(-5\right)+\frac{1}{2}\times 3\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}11\\4\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks y dan x.

$$y=11,x=4$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Pertimbangkan persamaan pertama. Tolak 4x daripada kedua-dua belah.

$$y-4x=-5$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Tolak 2x daripada kedua-dua belah.

$$y-2x=3$$

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$y-4x=-5,y-2x=3$$

Tolak y-2x=3 daripada y-4x=-5 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$y-y-4x+2x=-5-3$$

Tambahkan y pada -y. Seubtan y dan -y saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$-4x+2x=-5-3$$

Tambahkan -4x pada 2x.

$$-2x=-5-3$$

Tambahkan -5 pada -3.

$$-2x=-8$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -2.

$$x=4$$

Gantikan 4 dengan x dalam y-2x=3. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk y.

$$y-2\times 4=3$$

Darabkan -2 kali 4.

$$y-8=3$$

Tambahkan 8 pada kedua-dua belah persamaan.

$$y=11$$

Sistem kini diselesaikan.

$$y=11,x=4$$