Selesaikan {l}{y=4x+1}{y=5x}

$$\left. \begin{array} { l } { y = 4 x + 1 } \\ { y = 5 x } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk y, x

$$x=1$$

$$y=5$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Pertimbangkan persamaan pertama. Tolak 4x daripada kedua-dua belah.

$$y-4x=1$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Tolak 5x daripada kedua-dua belah.

$$y-5x=0$$

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$y-4x=1,y-5x=0$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk y dengan mengasingkan y di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$y-4x=1$$

Tambahkan 4x pada kedua-dua belah persamaan.

$$y=4x+1$$

Gantikan 4x+1 dengan y dalam persamaan lain, y-5x=0.

$$4x+1-5x=0$$

Tambahkan 4x pada -5x.

$$-x+1=0$$

Tolak 1 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-x=-1$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -1.

$$x=1$$

Gantikan 1 dengan x dalam y=4x+1. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk y.

$$y=4+1$$

Tambahkan 1 pada 4.

$$y=5$$

Sistem kini diselesaikan.

$$y=5,x=1$$

Langkah Menggunakan Matriks

Pertimbangkan persamaan pertama. Tolak 4x daripada kedua-dua belah.

$$y-4x=1$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Tolak 5x daripada kedua-dua belah.

$$y-5x=0$$

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$y-4x=1,y-5x=0$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}1&-4\\1&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\0\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}1&-4\\1&-5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\1&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-4\\1&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\1&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\0\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\1&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\0\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\1&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\0\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{-5-\left(-4\right)}&-\frac{-4}{-5-\left(-4\right)}\\-\frac{1}{-5-\left(-4\right)}&\frac{1}{-5-\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\0\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5&-4\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\0\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\1\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks y dan x.

$$y=5,x=1$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Pertimbangkan persamaan pertama. Tolak 4x daripada kedua-dua belah.

$$y-4x=1$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Tolak 5x daripada kedua-dua belah.

$$y-5x=0$$

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$y-4x=1,y-5x=0$$

Tolak y-5x=0 daripada y-4x=1 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$y-y-4x+5x=1$$

Tambahkan y pada -y. Seubtan y dan -y saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$-4x+5x=1$$

Tambahkan -4x pada 5x.

$$x=1$$

Gantikan 1 dengan x dalam y-5x=0. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk y.

$$y-5=0$$

Tambahkan 5 pada kedua-dua belah persamaan.

$$y=5$$

Sistem kini diselesaikan.

$$y=5,x=1$$