Selesaikan {l}{y=3x+4}{y=-4x}

$$\left. \begin{array} { l } { y = 3 x + 4 } \\ { y = - 4 x } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk y, x

$$x=-\frac{4}{7}\approx -0.571428571$$

$$y = \frac{16}{7} = 2\frac{2}{7} \approx 2.285714286$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Pertimbangkan persamaan pertama. Tolak 3x daripada kedua-dua belah.

$$y-3x=4$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Tambahkan 4x pada kedua-dua belah.

$$y+4x=0$$

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$y-3x=4,y+4x=0$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk y dengan mengasingkan y di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$y-3x=4$$

Tambahkan 3x pada kedua-dua belah persamaan.

$$y=3x+4$$

Gantikan 3x+4 dengan y dalam persamaan lain, y+4x=0.

$$3x+4+4x=0$$

Tambahkan 3x pada 4x.

$$7x+4=0$$

Tolak 4 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$7x=-4$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 7.

$$x=-\frac{4}{7}$$

Gantikan -\frac{4}{7} dengan x dalam y=3x+4. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk y.

$$y=3\left(-\frac{4}{7}\right)+4$$

Darabkan 3 kali -\frac{4}{7}.

$$y=-\frac{12}{7}+4$$

Tambahkan 4 pada -\frac{12}{7}.

$$y=\frac{16}{7}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$y=\frac{16}{7},x=-\frac{4}{7}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Pertimbangkan persamaan pertama. Tolak 3x daripada kedua-dua belah.

$$y-3x=4$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Tambahkan 4x pada kedua-dua belah.

$$y+4x=0$$

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$y-3x=4,y+4x=0$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}1&-3\\1&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\0\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}1&-3\\1&4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\1&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-3\\1&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\1&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\0\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\1&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\0\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\1&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\0\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{4-\left(-3\right)}&-\frac{-3}{4-\left(-3\right)}\\-\frac{1}{4-\left(-3\right)}&\frac{1}{4-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\0\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{7}&\frac{3}{7}\\-\frac{1}{7}&\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\0\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{7}\times 4\\-\frac{1}{7}\times 4\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{16}{7}\\-\frac{4}{7}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks y dan x.

$$y=\frac{16}{7},x=-\frac{4}{7}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Pertimbangkan persamaan pertama. Tolak 3x daripada kedua-dua belah.

$$y-3x=4$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Tambahkan 4x pada kedua-dua belah.

$$y+4x=0$$

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$y-3x=4,y+4x=0$$

Tolak y+4x=0 daripada y-3x=4 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$y-y-3x-4x=4$$

Tambahkan y pada -y. Seubtan y dan -y saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$-3x-4x=4$$

Tambahkan -3x pada -4x.

$$-7x=4$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -7.

$$x=-\frac{4}{7}$$

Gantikan -\frac{4}{7} dengan x dalam y+4x=0. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk y.

$$y+4\left(-\frac{4}{7}\right)=0$$

Darabkan 4 kali -\frac{4}{7}.

$$y-\frac{16}{7}=0$$

Tambahkan \frac{16}{7} pada kedua-dua belah persamaan.

$$y=\frac{16}{7}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$y=\frac{16}{7},x=-\frac{4}{7}$$