Selesaikan {l}{y=3x+1}{y=6x+4}

$$\left. \begin{array} { l } { y = 3 x + 1 } \\ { y = 6 x + 4 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk y, x

$$x=-1$$

$$y=-2$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Pertimbangkan persamaan pertama. Tolak 3x daripada kedua-dua belah.

$$y-3x=1$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Tolak 6x daripada kedua-dua belah.

$$y-6x=4$$

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$y-3x=1,y-6x=4$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk y dengan mengasingkan y di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$y-3x=1$$

Tambahkan 3x pada kedua-dua belah persamaan.

$$y=3x+1$$

Gantikan 3x+1 dengan y dalam persamaan lain, y-6x=4.

$$3x+1-6x=4$$

Tambahkan 3x pada -6x.

$$-3x+1=4$$

Tolak 1 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-3x=3$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -3.

$$x=-1$$

Gantikan -1 dengan x dalam y=3x+1. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk y.

$$y=3\left(-1\right)+1$$

Darabkan 3 kali -1.

$$y=-3+1$$

Tambahkan 1 pada -3.

$$y=-2$$

Sistem kini diselesaikan.

$$y=-2,x=-1$$

Langkah Menggunakan Matriks

Pertimbangkan persamaan pertama. Tolak 3x daripada kedua-dua belah.

$$y-3x=1$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Tolak 6x daripada kedua-dua belah.

$$y-6x=4$$

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$y-3x=1,y-6x=4$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}1&-3\\1&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}1&-3\\1&-6\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\1&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-3\\1&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\1&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\1&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\1&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{6}{-6-\left(-3\right)}&-\frac{-3}{-6-\left(-3\right)}\\-\frac{1}{-6-\left(-3\right)}&\frac{1}{-6-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2&-1\\\frac{1}{3}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2-4\\\frac{1}{3}-\frac{1}{3}\times 4\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\-1\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks y dan x.

$$y=-2,x=-1$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Pertimbangkan persamaan pertama. Tolak 3x daripada kedua-dua belah.

$$y-3x=1$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Tolak 6x daripada kedua-dua belah.

$$y-6x=4$$

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$y-3x=1,y-6x=4$$

Tolak y-6x=4 daripada y-3x=1 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$y-y-3x+6x=1-4$$

Tambahkan y pada -y. Seubtan y dan -y saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$-3x+6x=1-4$$

Tambahkan -3x pada 6x.

$$3x=1-4$$

Tambahkan 1 pada -4.

$$3x=-3$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 3.

$$x=-1$$

Gantikan -1 dengan x dalam y-6x=4. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk y.

$$y-6\left(-1\right)=4$$

Darabkan -6 kali -1.

$$y+6=4$$

Tolak 6 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$y=-2$$

Sistem kini diselesaikan.

$$y=-2,x=-1$$