Selesaikan {l}{y=2x-7}{y=-3x-2}

$$\left. \begin{array} { l } { y = 2 x - 7 } \\ { y = - 3 x - 2 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk y, x

$$x=1$$

$$y=-5$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Pertimbangkan persamaan pertama. Tolak 2x daripada kedua-dua belah.

$$y-2x=-7$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Tambahkan 3x pada kedua-dua belah.

$$y+3x=-2$$

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$y-2x=-7,y+3x=-2$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk y dengan mengasingkan y di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$y-2x=-7$$

Tambahkan 2x pada kedua-dua belah persamaan.

$$y=2x-7$$

Gantikan 2x-7 dengan y dalam persamaan lain, y+3x=-2.

$$2x-7+3x=-2$$

Tambahkan 2x pada 3x.

$$5x-7=-2$$

Tambahkan 7 pada kedua-dua belah persamaan.

$$5x=5$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 5.

$$x=1$$

Gantikan 1 dengan x dalam y=2x-7. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk y.

$$y=2-7$$

Tambahkan -7 pada 2.

$$y=-5$$

Sistem kini diselesaikan.

$$y=-5,x=1$$

Langkah Menggunakan Matriks

Pertimbangkan persamaan pertama. Tolak 2x daripada kedua-dua belah.

$$y-2x=-7$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Tambahkan 3x pada kedua-dua belah.

$$y+3x=-2$$

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$y-2x=-7,y+3x=-2$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}1&-2\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-7\\-2\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}1&-2\\1&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-2\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7\\-2\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7\\-2\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7\\-2\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3-\left(-2\right)}&-\frac{-2}{3-\left(-2\right)}\\-\frac{1}{3-\left(-2\right)}&\frac{1}{3-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-7\\-2\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5}&\frac{2}{5}\\-\frac{1}{5}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-7\\-2\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5}\left(-7\right)+\frac{2}{5}\left(-2\right)\\-\frac{1}{5}\left(-7\right)+\frac{1}{5}\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\1\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks y dan x.

$$y=-5,x=1$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Pertimbangkan persamaan pertama. Tolak 2x daripada kedua-dua belah.

$$y-2x=-7$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Tambahkan 3x pada kedua-dua belah.

$$y+3x=-2$$

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$y-2x=-7,y+3x=-2$$

Tolak y+3x=-2 daripada y-2x=-7 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$y-y-2x-3x=-7+2$$

Tambahkan y pada -y. Seubtan y dan -y saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$-2x-3x=-7+2$$

Tambahkan -2x pada -3x.

$$-5x=-7+2$$

Tambahkan -7 pada 2.

$$-5x=-5$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -5.

$$x=1$$

Gantikan 1 dengan x dalam y+3x=-2. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk y.

$$y+3=-2$$

Tolak 3 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$y=-5$$

Sistem kini diselesaikan.

$$y=-5,x=1$$