Selesaikan {l}{y=2x-2}{y=-5x+1}

$$\left. \begin{array} { l } { y = 2 x - 2 } \\ { y = - 5 x + 1 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk y, x

$$x=\frac{3}{7}\approx 0.428571429$$

$$y = -\frac{8}{7} = -1\frac{1}{7} \approx -1.142857143$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Pertimbangkan persamaan pertama. Tolak 2x daripada kedua-dua belah.

$$y-2x=-2$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Tambahkan 5x pada kedua-dua belah.

$$y+5x=1$$

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$y-2x=-2,y+5x=1$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk y dengan mengasingkan y di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$y-2x=-2$$

Tambahkan 2x pada kedua-dua belah persamaan.

$$y=2x-2$$

Gantikan -2+2x dengan y dalam persamaan lain, y+5x=1.

$$2x-2+5x=1$$

Tambahkan 2x pada 5x.

$$7x-2=1$$

Tambahkan 2 pada kedua-dua belah persamaan.

$$7x=3$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 7.

$$x=\frac{3}{7}$$

Gantikan \frac{3}{7} dengan x dalam y=2x-2. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk y.

$$y=2\times \frac{3}{7}-2$$

Darabkan 2 kali \frac{3}{7}.

$$y=\frac{6}{7}-2$$

Tambahkan -2 pada \frac{6}{7}.

$$y=-\frac{8}{7}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$y=-\frac{8}{7},x=\frac{3}{7}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Pertimbangkan persamaan pertama. Tolak 2x daripada kedua-dua belah.

$$y-2x=-2$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Tambahkan 5x pada kedua-dua belah.

$$y+5x=1$$

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$y-2x=-2,y+5x=1$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}1&-2\\1&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\1\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}1&-2\\1&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-2\\1&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\1\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\1\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\1\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{5-\left(-2\right)}&-\frac{-2}{5-\left(-2\right)}\\-\frac{1}{5-\left(-2\right)}&\frac{1}{5-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\1\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{7}&\frac{2}{7}\\-\frac{1}{7}&\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\1\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{7}\left(-2\right)+\frac{2}{7}\\-\frac{1}{7}\left(-2\right)+\frac{1}{7}\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8}{7}\\\frac{3}{7}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks y dan x.

$$y=-\frac{8}{7},x=\frac{3}{7}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Pertimbangkan persamaan pertama. Tolak 2x daripada kedua-dua belah.

$$y-2x=-2$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Tambahkan 5x pada kedua-dua belah.

$$y+5x=1$$

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$y-2x=-2,y+5x=1$$

Tolak y+5x=1 daripada y-2x=-2 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$y-y-2x-5x=-2-1$$

Tambahkan y pada -y. Seubtan y dan -y saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$-2x-5x=-2-1$$

Tambahkan -2x pada -5x.

$$-7x=-2-1$$

Tambahkan -2 pada -1.

$$-7x=-3$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -7.

$$x=\frac{3}{7}$$

Gantikan \frac{3}{7} dengan x dalam y+5x=1. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk y.

$$y+5\times \frac{3}{7}=1$$

Darabkan 5 kali \frac{3}{7}.

$$y+\frac{15}{7}=1$$

Tolak \frac{15}{7} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$y=-\frac{8}{7}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$y=-\frac{8}{7},x=\frac{3}{7}$$