Selesaikan {l}{y=2x+7}{2y=x+2}

$$\left. \begin{array} { l } { y = 2 x + 7 } \\ { 2 y = x + 2 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk y, x

$$x=-4$$

$$y=-1$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Pertimbangkan persamaan pertama. Tolak 2x daripada kedua-dua belah.

$$y-2x=7$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Tolak x daripada kedua-dua belah.

$$2y-x=2$$

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$y-2x=7,2y-x=2$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk y dengan mengasingkan y di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$y-2x=7$$

Tambahkan 2x pada kedua-dua belah persamaan.

$$y=2x+7$$

Gantikan 2x+7 dengan y dalam persamaan lain, 2y-x=2.

$$2\left(2x+7\right)-x=2$$

Darabkan 2 kali 2x+7.

$$4x+14-x=2$$

Tambahkan 4x pada -x.

$$3x+14=2$$

Tolak 14 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$3x=-12$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 3.

$$x=-4$$

Gantikan -4 dengan x dalam y=2x+7. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk y.

$$y=2\left(-4\right)+7$$

Darabkan 2 kali -4.

$$y=-8+7$$

Tambahkan 7 pada -8.

$$y=-1$$

Sistem kini diselesaikan.

$$y=-1,x=-4$$

Langkah Menggunakan Matriks

Pertimbangkan persamaan pertama. Tolak 2x daripada kedua-dua belah.

$$y-2x=7$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Tolak x daripada kedua-dua belah.

$$2y-x=2$$

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$y-2x=7,2y-x=2$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}1&-2\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\2\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}1&-2\\2&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-2\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\2\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\2\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\2\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-\left(-2\times 2\right)}&-\frac{-2}{-1-\left(-2\times 2\right)}\\-\frac{2}{-1-\left(-2\times 2\right)}&\frac{1}{-1-\left(-2\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\2\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}&\frac{2}{3}\\-\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\2\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\times 7+\frac{2}{3}\times 2\\-\frac{2}{3}\times 7+\frac{1}{3}\times 2\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\-4\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks y dan x.

$$y=-1,x=-4$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Pertimbangkan persamaan pertama. Tolak 2x daripada kedua-dua belah.

$$y-2x=7$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Tolak x daripada kedua-dua belah.

$$2y-x=2$$

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$y-2x=7,2y-x=2$$

Untuk menjadikan y dan 2y sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 2 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 1.

$$2y+2\left(-2\right)x=2\times 7,2y-x=2$$

Permudahkan.

$$2y-4x=14,2y-x=2$$

Tolak 2y-x=2 daripada 2y-4x=14 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$2y-2y-4x+x=14-2$$

Tambahkan 2y pada -2y. Seubtan 2y dan -2y saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$-4x+x=14-2$$

Tambahkan -4x pada x.

$$-3x=14-2$$

Tambahkan 14 pada -2.

$$-3x=12$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -3.

$$x=-4$$

Gantikan -4 dengan x dalam 2y-x=2. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk y.

$$2y-\left(-4\right)=2$$

Tolak 4 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$2y=-2$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$y=-1$$

Sistem kini diselesaikan.

$$y=-1,x=-4$$