Selesaikan {l}{y=2x+3}{y=-3x-6}

$$\left. \begin{array} { l } { y = 2 x + 3 } \\ { y = - 3 x - 6 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk y, x

$$x = -\frac{9}{5} = -1\frac{4}{5} = -1.8$$

$$y=-\frac{3}{5}=-0.6$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Pertimbangkan persamaan pertama. Tolak 2x daripada kedua-dua belah.

$$y-2x=3$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Tambahkan 3x pada kedua-dua belah.

$$y+3x=-6$$

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$y-2x=3,y+3x=-6$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk y dengan mengasingkan y di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$y-2x=3$$

Tambahkan 2x pada kedua-dua belah persamaan.

$$y=2x+3$$

Gantikan 2x+3 dengan y dalam persamaan lain, y+3x=-6.

$$2x+3+3x=-6$$

Tambahkan 2x pada 3x.

$$5x+3=-6$$

Tolak 3 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$5x=-9$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 5.

$$x=-\frac{9}{5}$$

Gantikan -\frac{9}{5} dengan x dalam y=2x+3. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk y.

$$y=2\left(-\frac{9}{5}\right)+3$$

Darabkan 2 kali -\frac{9}{5}.

$$y=-\frac{18}{5}+3$$

Tambahkan 3 pada -\frac{18}{5}.

$$y=-\frac{3}{5}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$y=-\frac{3}{5},x=-\frac{9}{5}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Pertimbangkan persamaan pertama. Tolak 2x daripada kedua-dua belah.

$$y-2x=3$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Tambahkan 3x pada kedua-dua belah.

$$y+3x=-6$$

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$y-2x=3,y+3x=-6$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}1&-2\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-6\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}1&-2\\1&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-2\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-6\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-6\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-6\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3-\left(-2\right)}&-\frac{-2}{3-\left(-2\right)}\\-\frac{1}{3-\left(-2\right)}&\frac{1}{3-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\-6\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5}&\frac{2}{5}\\-\frac{1}{5}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\-6\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5}\times 3+\frac{2}{5}\left(-6\right)\\-\frac{1}{5}\times 3+\frac{1}{5}\left(-6\right)\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{5}\\-\frac{9}{5}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks y dan x.

$$y=-\frac{3}{5},x=-\frac{9}{5}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Pertimbangkan persamaan pertama. Tolak 2x daripada kedua-dua belah.

$$y-2x=3$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Tambahkan 3x pada kedua-dua belah.

$$y+3x=-6$$

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$y-2x=3,y+3x=-6$$

Tolak y+3x=-6 daripada y-2x=3 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$y-y-2x-3x=3+6$$

Tambahkan y pada -y. Seubtan y dan -y saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$-2x-3x=3+6$$

Tambahkan -2x pada -3x.

$$-5x=3+6$$

Tambahkan 3 pada 6.

$$-5x=9$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -5.

$$x=-\frac{9}{5}$$

Gantikan -\frac{9}{5} dengan x dalam y+3x=-6. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk y.

$$y+3\left(-\frac{9}{5}\right)=-6$$

Darabkan 3 kali -\frac{9}{5}.

$$y-\frac{27}{5}=-6$$

Tambahkan \frac{27}{5} pada kedua-dua belah persamaan.

$$y=-\frac{3}{5}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$y=-\frac{3}{5},x=-\frac{9}{5}$$