Selesaikan {l}{y=2x+1}{y=3x+3}

$$\left. \begin{array} { l } { y = 2 x + 1 } \\ { y = 3 x + 3 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk y, x

$$x=-2$$

$$y=-3$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Pertimbangkan persamaan pertama. Tolak 2x daripada kedua-dua belah.

$$y-2x=1$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Tolak 3x daripada kedua-dua belah.

$$y-3x=3$$

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$y-2x=1,y-3x=3$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk y dengan mengasingkan y di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$y-2x=1$$

Tambahkan 2x pada kedua-dua belah persamaan.

$$y=2x+1$$

Gantikan 2x+1 dengan y dalam persamaan lain, y-3x=3.

$$2x+1-3x=3$$

Tambahkan 2x pada -3x.

$$-x+1=3$$

Tolak 1 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-x=2$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -1.

$$x=-2$$

Gantikan -2 dengan x dalam y=2x+1. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk y.

$$y=2\left(-2\right)+1$$

Darabkan 2 kali -2.

$$y=-4+1$$

Tambahkan 1 pada -4.

$$y=-3$$

Sistem kini diselesaikan.

$$y=-3,x=-2$$

Langkah Menggunakan Matriks

Pertimbangkan persamaan pertama. Tolak 2x daripada kedua-dua belah.

$$y-2x=1$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Tolak 3x daripada kedua-dua belah.

$$y-3x=3$$

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$y-2x=1,y-3x=3$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}1&-2\\1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}1&-2\\1&-3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-2\\1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{-3-\left(-2\right)}&-\frac{-2}{-3-\left(-2\right)}\\-\frac{1}{-3-\left(-2\right)}&\frac{1}{-3-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3&-2\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3-2\times 3\\1-3\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\-2\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks y dan x.

$$y=-3,x=-2$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Pertimbangkan persamaan pertama. Tolak 2x daripada kedua-dua belah.

$$y-2x=1$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Tolak 3x daripada kedua-dua belah.

$$y-3x=3$$

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$y-2x=1,y-3x=3$$

Tolak y-3x=3 daripada y-2x=1 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$y-y-2x+3x=1-3$$

Tambahkan y pada -y. Seubtan y dan -y saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$-2x+3x=1-3$$

Tambahkan -2x pada 3x.

$$x=1-3$$

Tambahkan 1 pada -3.

$$x=-2$$

Gantikan -2 dengan x dalam y-3x=3. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk y.

$$y-3\left(-2\right)=3$$

Darabkan -3 kali -2.

$$y+6=3$$

Tolak 6 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$y=-3$$

Sistem kini diselesaikan.

$$y=-3,x=-2$$