Selesaikan {l}{y=-x+5}{y=2x-1}

$$\left. \begin{array} { l } { y = - x + 5 } \\ { y = 2 x - 1 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk y, x

$$x=2$$

$$y=3$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Pertimbangkan persamaan pertama. Tambahkan x pada kedua-dua belah.

$$y+x=5$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Tolak 2x daripada kedua-dua belah.

$$y-2x=-1$$

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$y+x=5,y-2x=-1$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk y dengan mengasingkan y di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$y+x=5$$

Tolak x daripada kedua-dua belah persamaan.

$$y=-x+5$$

Gantikan -x+5 dengan y dalam persamaan lain, y-2x=-1.

$$-x+5-2x=-1$$

Tambahkan -x pada -2x.

$$-3x+5=-1$$

Tolak 5 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-3x=-6$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -3.

$$x=2$$

Gantikan 2 dengan x dalam y=-x+5. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk y.

$$y=-2+5$$

Tambahkan 5 pada -2.

$$y=3$$

Sistem kini diselesaikan.

$$y=3,x=2$$

Langkah Menggunakan Matriks

Pertimbangkan persamaan pertama. Tambahkan x pada kedua-dua belah.

$$y+x=5$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Tolak 2x daripada kedua-dua belah.

$$y-2x=-1$$

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$y+x=5,y-2x=-1$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\-1\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}1&1\\1&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-1\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-1\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-1\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{-2-1}&-\frac{1}{-2-1}\\-\frac{1}{-2-1}&\frac{1}{-2-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\-1\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{3}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\-1\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}\times 5+\frac{1}{3}\left(-1\right)\\\frac{1}{3}\times 5-\frac{1}{3}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\2\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks y dan x.

$$y=3,x=2$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Pertimbangkan persamaan pertama. Tambahkan x pada kedua-dua belah.

$$y+x=5$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Tolak 2x daripada kedua-dua belah.

$$y-2x=-1$$

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$y+x=5,y-2x=-1$$

Tolak y-2x=-1 daripada y+x=5 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$y-y+x+2x=5+1$$

Tambahkan y pada -y. Seubtan y dan -y saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$x+2x=5+1$$

Tambahkan x pada 2x.

$$3x=5+1$$

Tambahkan 5 pada 1.

$$3x=6$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 3.

$$x=2$$

Gantikan 2 dengan x dalam y-2x=-1. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk y.

$$y-2\times 2=-1$$

Darabkan -2 kali 2.

$$y-4=-1$$

Tambahkan 4 pada kedua-dua belah persamaan.

$$y=3$$

Sistem kini diselesaikan.

$$y=3,x=2$$