Selesaikan {l}{y=-5x+1}{y=x+7}

$$\left. \begin{array} { l } { y = - 5 x + 1 } \\ { y = x + 7 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk y, x

$$x=-1$$

$$y=6$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Pertimbangkan persamaan pertama. Tambahkan 5x pada kedua-dua belah.

$$y+5x=1$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Tolak x daripada kedua-dua belah.

$$y-x=7$$

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$y+5x=1,y-x=7$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk y dengan mengasingkan y di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$y+5x=1$$

Tolak 5x daripada kedua-dua belah persamaan.

$$y=-5x+1$$

Gantikan -5x+1 dengan y dalam persamaan lain, y-x=7.

$$-5x+1-x=7$$

Tambahkan -5x pada -x.

$$-6x+1=7$$

Tolak 1 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-6x=6$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -6.

$$x=-1$$

Gantikan -1 dengan x dalam y=-5x+1. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk y.

$$y=-5\left(-1\right)+1$$

Darabkan -5 kali -1.

$$y=5+1$$

Tambahkan 1 pada 5.

$$y=6$$

Sistem kini diselesaikan.

$$y=6,x=-1$$

Langkah Menggunakan Matriks

Pertimbangkan persamaan pertama. Tambahkan 5x pada kedua-dua belah.

$$y+5x=1$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Tolak x daripada kedua-dua belah.

$$y-x=7$$

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$y+5x=1,y-x=7$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}1&5\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}1&5\\1&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&5\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&5\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&5\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&5\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&5\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-5}&-\frac{5}{-1-5}\\-\frac{1}{-1-5}&\frac{1}{-1-5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}&\frac{5}{6}\\\frac{1}{6}&-\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}+\frac{5}{6}\times 7\\\frac{1}{6}-\frac{1}{6}\times 7\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\-1\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks y dan x.

$$y=6,x=-1$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Pertimbangkan persamaan pertama. Tambahkan 5x pada kedua-dua belah.

$$y+5x=1$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Tolak x daripada kedua-dua belah.

$$y-x=7$$

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$y+5x=1,y-x=7$$

Tolak y-x=7 daripada y+5x=1 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$y-y+5x+x=1-7$$

Tambahkan y pada -y. Seubtan y dan -y saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$5x+x=1-7$$

Tambahkan 5x pada x.

$$6x=1-7$$

Tambahkan 1 pada -7.

$$6x=-6$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 6.

$$x=-1$$

Gantikan -1 dengan x dalam y-x=7. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk y.

$$y-\left(-1\right)=7$$

Darabkan -1 kali -1.

$$y+1=7$$

Tolak 1 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$y=6$$

Sistem kini diselesaikan.

$$y=6,x=-1$$