Selesaikan {l}{y=-4x-3}{y=x+2}

$$\left. \begin{array} { l } { y = - 4 x - 3 } \\ { y = x + 2 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk y, x

$$x=-1$$

$$y=1$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Pertimbangkan persamaan pertama. Tambahkan 4x pada kedua-dua belah.

$$y+4x=-3$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Tolak x daripada kedua-dua belah.

$$y-x=2$$

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$y+4x=-3,y-x=2$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk y dengan mengasingkan y di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$y+4x=-3$$

Tolak 4x daripada kedua-dua belah persamaan.

$$y=-4x-3$$

Gantikan -4x-3 dengan y dalam persamaan lain, y-x=2.

$$-4x-3-x=2$$

Tambahkan -4x pada -x.

$$-5x-3=2$$

Tambahkan 3 pada kedua-dua belah persamaan.

$$-5x=5$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -5.

$$x=-1$$

Gantikan -1 dengan x dalam y=-4x-3. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk y.

$$y=-4\left(-1\right)-3$$

Darabkan -4 kali -1.

$$y=4-3$$

Tambahkan -3 pada 4.

$$y=1$$

Sistem kini diselesaikan.

$$y=1,x=-1$$

Langkah Menggunakan Matriks

Pertimbangkan persamaan pertama. Tambahkan 4x pada kedua-dua belah.

$$y+4x=-3$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Tolak x daripada kedua-dua belah.

$$y-x=2$$

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$y+4x=-3,y-x=2$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}1&4\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\2\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}1&4\\1&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&4\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\2\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\2\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\2\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-4}&-\frac{4}{-1-4}\\-\frac{1}{-1-4}&\frac{1}{-1-4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\2\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&\frac{4}{5}\\\frac{1}{5}&-\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\2\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}\left(-3\right)+\frac{4}{5}\times 2\\\frac{1}{5}\left(-3\right)-\frac{1}{5}\times 2\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks y dan x.

$$y=1,x=-1$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Pertimbangkan persamaan pertama. Tambahkan 4x pada kedua-dua belah.

$$y+4x=-3$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Tolak x daripada kedua-dua belah.

$$y-x=2$$

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$y+4x=-3,y-x=2$$

Tolak y-x=2 daripada y+4x=-3 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$y-y+4x+x=-3-2$$

Tambahkan y pada -y. Seubtan y dan -y saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$4x+x=-3-2$$

Tambahkan 4x pada x.

$$5x=-3-2$$

Tambahkan -3 pada -2.

$$5x=-5$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 5.

$$x=-1$$

Gantikan -1 dengan x dalam y-x=2. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk y.

$$y-\left(-1\right)=2$$

Darabkan -1 kali -1.

$$y+1=2$$

Tolak 1 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$y=1$$

Sistem kini diselesaikan.

$$y=1,x=-1$$