Selesaikan {l}{y=-4x-17}{-2x+6y=2}

$$\left. \begin{array} { l } { y = - 4 x - 17 } \\ { - 2 x + 6 y = 2 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk y, x

$$x=-4$$

$$y=-1$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Pertimbangkan persamaan pertama. Tambahkan 4x pada kedua-dua belah.

$$y+4x=-17$$

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$y+4x=-17,6y-2x=2$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk y dengan mengasingkan y di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$y+4x=-17$$

Tolak 4x daripada kedua-dua belah persamaan.

$$y=-4x-17$$

Gantikan -4x-17 dengan y dalam persamaan lain, 6y-2x=2.

$$6\left(-4x-17\right)-2x=2$$

Darabkan 6 kali -4x-17.

$$-24x-102-2x=2$$

Tambahkan -24x pada -2x.

$$-26x-102=2$$

Tambahkan 102 pada kedua-dua belah persamaan.

$$-26x=104$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -26.

$$x=-4$$

Gantikan -4 dengan x dalam y=-4x-17. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk y.

$$y=-4\left(-4\right)-17$$

Darabkan -4 kali -4.

$$y=16-17$$

Tambahkan -17 pada 16.

$$y=-1$$

Sistem kini diselesaikan.

$$y=-1,x=-4$$

Langkah Menggunakan Matriks

Pertimbangkan persamaan pertama. Tambahkan 4x pada kedua-dua belah.

$$y+4x=-17$$

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$y+4x=-17,6y-2x=2$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}1&4\\6&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-17\\2\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}1&4\\6&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\6&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&4\\6&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\6&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-17\\2\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\6&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-17\\2\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\6&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-17\\2\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{-2-4\times 6}&-\frac{4}{-2-4\times 6}\\-\frac{6}{-2-4\times 6}&\frac{1}{-2-4\times 6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-17\\2\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{13}&\frac{2}{13}\\\frac{3}{13}&-\frac{1}{26}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-17\\2\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{13}\left(-17\right)+\frac{2}{13}\times 2\\\frac{3}{13}\left(-17\right)-\frac{1}{26}\times 2\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\-4\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks y dan x.

$$y=-1,x=-4$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Pertimbangkan persamaan pertama. Tambahkan 4x pada kedua-dua belah.

$$y+4x=-17$$

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$y+4x=-17,6y-2x=2$$

Untuk menjadikan y dan 6y sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 6 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 1.

$$6y+6\times 4x=6\left(-17\right),6y-2x=2$$

Permudahkan.

$$6y+24x=-102,6y-2x=2$$

Tolak 6y-2x=2 daripada 6y+24x=-102 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$6y-6y+24x+2x=-102-2$$

Tambahkan 6y pada -6y. Seubtan 6y dan -6y saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$24x+2x=-102-2$$

Tambahkan 24x pada 2x.

$$26x=-102-2$$

Tambahkan -102 pada -2.

$$26x=-104$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 26.

$$x=-4$$

Gantikan -4 dengan x dalam 6y-2x=2. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk y.

$$6y-2\left(-4\right)=2$$

Darabkan -2 kali -4.

$$6y+8=2$$

Tolak 8 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$6y=-6$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 6.

$$y=-1$$

Sistem kini diselesaikan.

$$y=-1,x=-4$$