Selesaikan {l}{y=-3x+1}{y=3x-5}

$$\left. \begin{array} { l } { y = - 3 x + 1 } \\ { y = 3 x - 5 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk y, x

$$x=1$$

$$y=-2$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Pertimbangkan persamaan pertama. Tambahkan 3x pada kedua-dua belah.

$$y+3x=1$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Tolak 3x daripada kedua-dua belah.

$$y-3x=-5$$

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$y+3x=1,y-3x=-5$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk y dengan mengasingkan y di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$y+3x=1$$

Tolak 3x daripada kedua-dua belah persamaan.

$$y=-3x+1$$

Gantikan -3x+1 dengan y dalam persamaan lain, y-3x=-5.

$$-3x+1-3x=-5$$

Tambahkan -3x pada -3x.

$$-6x+1=-5$$

Tolak 1 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-6x=-6$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -6.

$$x=1$$

Gantikan 1 dengan x dalam y=-3x+1. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk y.

$$y=-3+1$$

Tambahkan 1 pada -3.

$$y=-2$$

Sistem kini diselesaikan.

$$y=-2,x=1$$

Langkah Menggunakan Matriks

Pertimbangkan persamaan pertama. Tambahkan 3x pada kedua-dua belah.

$$y+3x=1$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Tolak 3x daripada kedua-dua belah.

$$y-3x=-5$$

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$y+3x=1,y-3x=-5$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}1&3\\1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-5\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}1&3\\1&-3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&3\\1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-5\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-5\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-5\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{-3-3}&-\frac{3}{-3-3}\\-\frac{1}{-3-3}&\frac{1}{-3-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-5\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\\frac{1}{6}&-\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-5\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\left(-5\right)\\\frac{1}{6}-\frac{1}{6}\left(-5\right)\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\1\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks y dan x.

$$y=-2,x=1$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Pertimbangkan persamaan pertama. Tambahkan 3x pada kedua-dua belah.

$$y+3x=1$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Tolak 3x daripada kedua-dua belah.

$$y-3x=-5$$

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$y+3x=1,y-3x=-5$$

Tolak y-3x=-5 daripada y+3x=1 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$y-y+3x+3x=1+5$$

Tambahkan y pada -y. Seubtan y dan -y saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$3x+3x=1+5$$

Tambahkan 3x pada 3x.

$$6x=1+5$$

Tambahkan 1 pada 5.

$$6x=6$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 6.

$$x=1$$

Gantikan 1 dengan x dalam y-3x=-5. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk y.

$$y-3=-5$$

Tambahkan 3 pada kedua-dua belah persamaan.

$$y=-2$$

Sistem kini diselesaikan.

$$y=-2,x=1$$