Selesaikan {l}{y=-2x}{4x+6y=24}

$$\left. \begin{array} { l } { y = - 2 x } \\ { 4 x + 6 y = 24 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk y, x

$$x=-3$$

$$y=6$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Pertimbangkan persamaan pertama. Tambahkan 2x pada kedua-dua belah.

$$y+2x=0$$

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$y+2x=0,6y+4x=24$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk y dengan mengasingkan y di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$y+2x=0$$

Tolak 2x daripada kedua-dua belah persamaan.

$$y=-2x$$

Gantikan -2x dengan y dalam persamaan lain, 6y+4x=24.

$$6\left(-2\right)x+4x=24$$

Darabkan 6 kali -2x.

$$-12x+4x=24$$

Tambahkan -12x pada 4x.

$$-8x=24$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -8.

$$x=-3$$

Gantikan -3 dengan x dalam y=-2x. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk y.

$$y=-2\left(-3\right)$$

Darabkan -2 kali -3.

$$y=6$$

Sistem kini diselesaikan.

$$y=6,x=-3$$

Langkah Menggunakan Matriks

Pertimbangkan persamaan pertama. Tambahkan 2x pada kedua-dua belah.

$$y+2x=0$$

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$y+2x=0,6y+4x=24$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\6&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\24\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}1&2\\6&4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\6&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\6&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\6&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\24\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\6&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\24\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\6&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\24\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{4-2\times 6}&-\frac{2}{4-2\times 6}\\-\frac{6}{4-2\times 6}&\frac{1}{4-2\times 6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\24\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}&\frac{1}{4}\\\frac{3}{4}&-\frac{1}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\24\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\times 24\\-\frac{1}{8}\times 24\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\-3\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks y dan x.

$$y=6,x=-3$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Pertimbangkan persamaan pertama. Tambahkan 2x pada kedua-dua belah.

$$y+2x=0$$

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$y+2x=0,6y+4x=24$$

Untuk menjadikan y dan 6y sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 6 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 1.

$$6y+6\times 2x=0,6y+4x=24$$

Permudahkan.

$$6y+12x=0,6y+4x=24$$

Tolak 6y+4x=24 daripada 6y+12x=0 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$6y-6y+12x-4x=-24$$

Tambahkan 6y pada -6y. Seubtan 6y dan -6y saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$12x-4x=-24$$

Tambahkan 12x pada -4x.

$$8x=-24$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 8.

$$x=-3$$

Gantikan -3 dengan x dalam 6y+4x=24. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk y.

$$6y+4\left(-3\right)=24$$

Darabkan 4 kali -3.

$$6y-12=24$$

Tambahkan 12 pada kedua-dua belah persamaan.

$$6y=36$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 6.

$$y=6$$

Sistem kini diselesaikan.

$$y=6,x=-3$$