Selesaikan {l}{y=-7/3x+3}{y=-2/3x-2}

$$\left. \begin{array} { l } { y = - \frac { 7 } { 3 } x + 3 } \\ { y = - \frac { 2 } { 3 } x - 2 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk y, x

$$x=3$$

$$y=-4$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Pertimbangkan persamaan pertama. Tambahkan \frac{7}{3}x pada kedua-dua belah.

$$y+\frac{7}{3}x=3$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Tambahkan \frac{2}{3}x pada kedua-dua belah.

$$y+\frac{2}{3}x=-2$$

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$y+\frac{7}{3}x=3,y+\frac{2}{3}x=-2$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk y dengan mengasingkan y di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$y+\frac{7}{3}x=3$$

Tolak \frac{7x}{3} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$y=-\frac{7}{3}x+3$$

Gantikan -\frac{7x}{3}+3 dengan y dalam persamaan lain, y+\frac{2}{3}x=-2.

$$-\frac{7}{3}x+3+\frac{2}{3}x=-2$$

Tambahkan -\frac{7x}{3} pada \frac{2x}{3}.

$$-\frac{5}{3}x+3=-2$$

Tolak 3 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-\frac{5}{3}x=-5$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan -\frac{5}{3} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$x=3$$

Gantikan 3 dengan x dalam y=-\frac{7}{3}x+3. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk y.

$$y=-\frac{7}{3}\times 3+3$$

Darabkan -\frac{7}{3} kali 3.

$$y=-7+3$$

Tambahkan 3 pada -7.

$$y=-4$$

Sistem kini diselesaikan.

$$y=-4,x=3$$

Langkah Menggunakan Matriks

Pertimbangkan persamaan pertama. Tambahkan \frac{7}{3}x pada kedua-dua belah.

$$y+\frac{7}{3}x=3$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Tambahkan \frac{2}{3}x pada kedua-dua belah.

$$y+\frac{2}{3}x=-2$$

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$y+\frac{7}{3}x=3,y+\frac{2}{3}x=-2$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}1&\frac{7}{3}\\1&\frac{2}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-2\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}1&\frac{7}{3}\\1&\frac{2}{3}\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{7}{3}\\1&\frac{2}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&\frac{7}{3}\\1&\frac{2}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{7}{3}\\1&\frac{2}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-2\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{7}{3}\\1&\frac{2}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-2\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{7}{3}\\1&\frac{2}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-2\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{2}{3}}{\frac{2}{3}-\frac{7}{3}}&-\frac{\frac{7}{3}}{\frac{2}{3}-\frac{7}{3}}\\-\frac{1}{\frac{2}{3}-\frac{7}{3}}&\frac{1}{\frac{2}{3}-\frac{7}{3}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\-2\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{5}&\frac{7}{5}\\\frac{3}{5}&-\frac{3}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\-2\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{5}\times 3+\frac{7}{5}\left(-2\right)\\\frac{3}{5}\times 3-\frac{3}{5}\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\3\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks y dan x.

$$y=-4,x=3$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Pertimbangkan persamaan pertama. Tambahkan \frac{7}{3}x pada kedua-dua belah.

$$y+\frac{7}{3}x=3$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Tambahkan \frac{2}{3}x pada kedua-dua belah.

$$y+\frac{2}{3}x=-2$$

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$y+\frac{7}{3}x=3,y+\frac{2}{3}x=-2$$

Tolak y+\frac{2}{3}x=-2 daripada y+\frac{7}{3}x=3 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$y-y+\frac{7}{3}x-\frac{2}{3}x=3+2$$

Tambahkan y pada -y. Seubtan y dan -y saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$\frac{7}{3}x-\frac{2}{3}x=3+2$$

Tambahkan \frac{7x}{3} pada -\frac{2x}{3}.

$$\frac{5}{3}x=3+2$$

Tambahkan 3 pada 2.

$$\frac{5}{3}x=5$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan \frac{5}{3} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$x=3$$

Gantikan 3 dengan x dalam y+\frac{2}{3}x=-2. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk y.

$$y+\frac{2}{3}\times 3=-2$$

Darabkan \frac{2}{3} kali 3.

$$y+2=-2$$

Tolak 2 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$y=-4$$

Sistem kini diselesaikan.

$$y=-4,x=3$$