Selesaikan {l}{y=-1/2x+1}{y=1/2x-3}

$$\left. \begin{array} { l } { y = - \frac { 1 } { 2 } x + 1 } \\ { y = \frac { 1 } { 2 } x - 3 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk y, x

$$x=4$$

$$y=-1$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Pertimbangkan persamaan pertama. Tambahkan \frac{1}{2}x pada kedua-dua belah.

$$y+\frac{1}{2}x=1$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Tolak \frac{1}{2}x daripada kedua-dua belah.

$$y-\frac{1}{2}x=-3$$

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$y+\frac{1}{2}x=1,y-\frac{1}{2}x=-3$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk y dengan mengasingkan y di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$y+\frac{1}{2}x=1$$

Tolak \frac{x}{2} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$y=-\frac{1}{2}x+1$$

Gantikan -\frac{x}{2}+1 dengan y dalam persamaan lain, y-\frac{1}{2}x=-3.

$$-\frac{1}{2}x+1-\frac{1}{2}x=-3$$

Tambahkan -\frac{x}{2} pada -\frac{x}{2}.

$$-x+1=-3$$

Tolak 1 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-x=-4$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -1.

$$x=4$$

Gantikan 4 dengan x dalam y=-\frac{1}{2}x+1. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk y.

$$y=-\frac{1}{2}\times 4+1$$

Darabkan -\frac{1}{2} kali 4.

$$y=-2+1$$

Tambahkan 1 pada -2.

$$y=-1$$

Sistem kini diselesaikan.

$$y=-1,x=4$$

Langkah Menggunakan Matriks

Pertimbangkan persamaan pertama. Tambahkan \frac{1}{2}x pada kedua-dua belah.

$$y+\frac{1}{2}x=1$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Tolak \frac{1}{2}x daripada kedua-dua belah.

$$y-\frac{1}{2}x=-3$$

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$y+\frac{1}{2}x=1,y-\frac{1}{2}x=-3$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}1&\frac{1}{2}\\1&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-3\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}1&\frac{1}{2}\\1&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{1}{2}\\1&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&\frac{1}{2}\\1&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{1}{2}\\1&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-3\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{1}{2}\\1&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-3\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{1}{2}\\1&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-3\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{\frac{1}{2}}{-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}}&-\frac{\frac{1}{2}}{-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}}\\-\frac{1}{-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}}&\frac{1}{-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-3\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-3\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\left(-3\right)\\1-\left(-3\right)\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\4\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks y dan x.

$$y=-1,x=4$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Pertimbangkan persamaan pertama. Tambahkan \frac{1}{2}x pada kedua-dua belah.

$$y+\frac{1}{2}x=1$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Tolak \frac{1}{2}x daripada kedua-dua belah.

$$y-\frac{1}{2}x=-3$$

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$y+\frac{1}{2}x=1,y-\frac{1}{2}x=-3$$

Tolak y-\frac{1}{2}x=-3 daripada y+\frac{1}{2}x=1 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$y-y+\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}x=1+3$$

Tambahkan y pada -y. Seubtan y dan -y saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}x=1+3$$

Tambahkan \frac{x}{2} pada \frac{x}{2}.

$$x=1+3$$

Tambahkan 1 pada 3.

$$x=4$$

Gantikan 4 dengan x dalam y-\frac{1}{2}x=-3. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk y.

$$y-\frac{1}{2}\times 4=-3$$

Darabkan -\frac{1}{2} kali 4.

$$y-2=-3$$

Tambahkan 2 pada kedua-dua belah persamaan.

$$y=-1$$

Sistem kini diselesaikan.

$$y=-1,x=4$$