Selesaikan {l}{y=x/20}{y=(80+x)*1/30}

$$\left. \begin{array} { l } { y = \frac { x } { 20 } } \\ { y = ( 80 + x ) \times \frac { 1 } { 30 } } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk y, x

$$x=160$$

$$y=8$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Pertimbangkan persamaan pertama. Tolak \frac{x}{20} daripada kedua-dua belah.

$$y-\frac{x}{20}=0$$

Darabkan kedua-dua belah persamaan dengan 20.

$$20y-x=0$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab 80+x dengan \frac{1}{30}.

$$y=\frac{8}{3}+\frac{1}{30}x$$

Tolak \frac{1}{30}x daripada kedua-dua belah.

$$y-\frac{1}{30}x=\frac{8}{3}$$

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$20y-x=0,y-\frac{1}{30}x=\frac{8}{3}$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk y dengan mengasingkan y di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$20y-x=0$$

Tambahkan x pada kedua-dua belah persamaan.

$$20y=x$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 20.

$$y=\frac{1}{20}x$$

Gantikan \frac{x}{20} dengan y dalam persamaan lain, y-\frac{1}{30}x=\frac{8}{3}.

$$\frac{1}{20}x-\frac{1}{30}x=\frac{8}{3}$$

Tambahkan \frac{x}{20} pada -\frac{x}{30}.

$$\frac{1}{60}x=\frac{8}{3}$$

Darabkan kedua-dua belah dengan 60.

$$x=160$$

Gantikan 160 dengan x dalam y=\frac{1}{20}x. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk y.

$$y=\frac{1}{20}\times 160$$

Darabkan \frac{1}{20} kali 160.

$$y=8$$

Sistem kini diselesaikan.

$$y=8,x=160$$

Langkah Menggunakan Matriks

Pertimbangkan persamaan pertama. Tolak \frac{x}{20} daripada kedua-dua belah.

$$y-\frac{x}{20}=0$$

Darabkan kedua-dua belah persamaan dengan 20.

$$20y-x=0$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab 80+x dengan \frac{1}{30}.

$$y=\frac{8}{3}+\frac{1}{30}x$$

Tolak \frac{1}{30}x daripada kedua-dua belah.

$$y-\frac{1}{30}x=\frac{8}{3}$$

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$20y-x=0,y-\frac{1}{30}x=\frac{8}{3}$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}20&-1\\1&-\frac{1}{30}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\\frac{8}{3}\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}20&-1\\1&-\frac{1}{30}\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}20&-1\\1&-\frac{1}{30}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20&-1\\1&-\frac{1}{30}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}20&-1\\1&-\frac{1}{30}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\\frac{8}{3}\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}20&-1\\1&-\frac{1}{30}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\\frac{8}{3}\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}20&-1\\1&-\frac{1}{30}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\\frac{8}{3}\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{\frac{1}{30}}{20\left(-\frac{1}{30}\right)-\left(-1\right)}&-\frac{-1}{20\left(-\frac{1}{30}\right)-\left(-1\right)}\\-\frac{1}{20\left(-\frac{1}{30}\right)-\left(-1\right)}&\frac{20}{20\left(-\frac{1}{30}\right)-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\\frac{8}{3}\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{10}&3\\-3&60\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\\frac{8}{3}\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\times \frac{8}{3}\\60\times \frac{8}{3}\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\160\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks y dan x.

$$y=8,x=160$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Pertimbangkan persamaan pertama. Tolak \frac{x}{20} daripada kedua-dua belah.

$$y-\frac{x}{20}=0$$

Darabkan kedua-dua belah persamaan dengan 20.

$$20y-x=0$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab 80+x dengan \frac{1}{30}.

$$y=\frac{8}{3}+\frac{1}{30}x$$

Tolak \frac{1}{30}x daripada kedua-dua belah.

$$y-\frac{1}{30}x=\frac{8}{3}$$

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$20y-x=0,y-\frac{1}{30}x=\frac{8}{3}$$

Untuk menjadikan 20y dan y sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 1 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 20.

$$20y-x=0,20y+20\left(-\frac{1}{30}\right)x=20\times \frac{8}{3}$$

Permudahkan.

$$20y-x=0,20y-\frac{2}{3}x=\frac{160}{3}$$

Tolak 20y-\frac{2}{3}x=\frac{160}{3} daripada 20y-x=0 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$20y-20y-x+\frac{2}{3}x=-\frac{160}{3}$$

Tambahkan 20y pada -20y. Seubtan 20y dan -20y saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$-x+\frac{2}{3}x=-\frac{160}{3}$$

Tambahkan -x pada \frac{2x}{3}.

$$-\frac{1}{3}x=-\frac{160}{3}$$

Darabkan kedua-dua belah dengan -3.

$$x=160$$

Gantikan 160 dengan x dalam y-\frac{1}{30}x=\frac{8}{3}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk y.

$$y-\frac{1}{30}\times 160=\frac{8}{3}$$

Darabkan -\frac{1}{30} kali 160.

$$y-\frac{16}{3}=\frac{8}{3}$$

Tambahkan \frac{16}{3} pada kedua-dua belah persamaan.

$$y=8$$

Sistem kini diselesaikan.

$$y=8,x=160$$