Selesaikan {l}{y=x+3/2+3}{y=2x+10}

$$\left. \begin{array} { l } { y = \frac { x + 3 } { 2 } + 3 } \\ { y = 2 x + 10 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk y, x

$$x = -\frac{11}{3} = -3\frac{2}{3} \approx -3.666666667$$

$$y = \frac{8}{3} = 2\frac{2}{3} \approx 2.666666667$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Pertimbangkan persamaan pertama. Bahagikan setiap sebutan x+3 dengan 2 untuk mendapatkan \frac{1}{2}x+\frac{3}{2}.

$$y=\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}+3$$

Tambahkan \frac{3}{2} dan 3 untuk dapatkan \frac{9}{2}.

$$y=\frac{1}{2}x+\frac{9}{2}$$

Gantikan \frac{9+x}{2} dengan y dalam persamaan lain, y-2x=10.

$$\frac{1}{2}x+\frac{9}{2}-2x=10$$

Tambahkan \frac{x}{2} pada -2x.

$$-\frac{3}{2}x+\frac{9}{2}=10$$

Tolak \frac{9}{2} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-\frac{3}{2}x=\frac{11}{2}$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan -\frac{3}{2} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$x=-\frac{11}{3}$$

Gantikan -\frac{11}{3} dengan x dalam y=\frac{1}{2}x+\frac{9}{2}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk y.

$$y=\frac{1}{2}\left(-\frac{11}{3}\right)+\frac{9}{2}$$

Darabkan \frac{1}{2} dengan -\frac{11}{3} dengan mendarabkan pengangka dengan pengangka dan penyebut dengan penyebut. Kemudian kurangkan pecahan tersebut ke sebutan terendah yang mungkin.

$$y=-\frac{11}{6}+\frac{9}{2}$$

Tambahkan \frac{9}{2} pada -\frac{11}{6} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$y=\frac{8}{3}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$y=\frac{8}{3},x=-\frac{11}{3}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Pertimbangkan persamaan pertama. Bahagikan setiap sebutan x+3 dengan 2 untuk mendapatkan \frac{1}{2}x+\frac{3}{2}.

$$y=\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}+3$$

Tambahkan \frac{3}{2} dan 3 untuk dapatkan \frac{9}{2}.

$$y=\frac{1}{2}x+\frac{9}{2}$$

Tolak \frac{1}{2}x daripada kedua-dua belah.

$$y-\frac{1}{2}x=\frac{9}{2}$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Tolak 2x daripada kedua-dua belah.

$$y-2x=10$$

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$y-\frac{1}{2}x=\frac{9}{2},y-2x=10$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{2}\\10\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\1&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{9}{2}\\10\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{9}{2}\\10\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{9}{2}\\10\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{-2-\left(-\frac{1}{2}\right)}&-\frac{-\frac{1}{2}}{-2-\left(-\frac{1}{2}\right)}\\-\frac{1}{-2-\left(-\frac{1}{2}\right)}&\frac{1}{-2-\left(-\frac{1}{2}\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}\frac{9}{2}\\10\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{3}&-\frac{1}{3}\\\frac{2}{3}&-\frac{2}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}\frac{9}{2}\\10\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{3}\times \frac{9}{2}-\frac{1}{3}\times 10\\\frac{2}{3}\times \frac{9}{2}-\frac{2}{3}\times 10\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{3}\\-\frac{11}{3}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks y dan x.

$$y=\frac{8}{3},x=-\frac{11}{3}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Pertimbangkan persamaan pertama. Bahagikan setiap sebutan x+3 dengan 2 untuk mendapatkan \frac{1}{2}x+\frac{3}{2}.

$$y=\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}+3$$

Tambahkan \frac{3}{2} dan 3 untuk dapatkan \frac{9}{2}.

$$y=\frac{1}{2}x+\frac{9}{2}$$

Tolak \frac{1}{2}x daripada kedua-dua belah.

$$y-\frac{1}{2}x=\frac{9}{2}$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Tolak 2x daripada kedua-dua belah.

$$y-2x=10$$

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$y-\frac{1}{2}x=\frac{9}{2},y-2x=10$$

Tolak y-2x=10 daripada y-\frac{1}{2}x=\frac{9}{2} dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$y-y-\frac{1}{2}x+2x=\frac{9}{2}-10$$

Tambahkan y pada -y. Seubtan y dan -y saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$-\frac{1}{2}x+2x=\frac{9}{2}-10$$

Tambahkan -\frac{x}{2} pada 2x.

$$\frac{3}{2}x=\frac{9}{2}-10$$

Tambahkan \frac{9}{2} pada -10.

$$\frac{3}{2}x=-\frac{11}{2}$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan \frac{3}{2} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$x=-\frac{11}{3}$$

Gantikan -\frac{11}{3} dengan x dalam y-2x=10. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk y.

$$y-2\left(-\frac{11}{3}\right)=10$$

Darabkan -2 kali -\frac{11}{3}.

$$y+\frac{22}{3}=10$$

Tolak \frac{22}{3} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$y=\frac{8}{3}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$y=\frac{8}{3},x=-\frac{11}{3}$$