Selesaikan {l}{y=1/3x+1}{y=4/3x-2}

$$\left. \begin{array} { l } { y = \frac { 1 } { 3 } x + 1 } \\ { y = \frac { 4 } { 3 } x - 2 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk y, x

$$x=3$$

$$y=2$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Pertimbangkan persamaan pertama. Tolak \frac{1}{3}x daripada kedua-dua belah.

$$y-\frac{1}{3}x=1$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Tolak \frac{4}{3}x daripada kedua-dua belah.

$$y-\frac{4}{3}x=-2$$

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$y-\frac{1}{3}x=1,y-\frac{4}{3}x=-2$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk y dengan mengasingkan y di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$y-\frac{1}{3}x=1$$

Tambahkan \frac{x}{3} pada kedua-dua belah persamaan.

$$y=\frac{1}{3}x+1$$

Gantikan \frac{x}{3}+1 dengan y dalam persamaan lain, y-\frac{4}{3}x=-2.

$$\frac{1}{3}x+1-\frac{4}{3}x=-2$$

Tambahkan \frac{x}{3} pada -\frac{4x}{3}.

$$-x+1=-2$$

Tolak 1 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-x=-3$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -1.

$$x=3$$

Gantikan 3 dengan x dalam y=\frac{1}{3}x+1. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk y.

$$y=\frac{1}{3}\times 3+1$$

Darabkan \frac{1}{3} kali 3.

$$y=1+1$$

Tambahkan 1 pada 1.

$$y=2$$

Sistem kini diselesaikan.

$$y=2,x=3$$

Langkah Menggunakan Matriks

Pertimbangkan persamaan pertama. Tolak \frac{1}{3}x daripada kedua-dua belah.

$$y-\frac{1}{3}x=1$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Tolak \frac{4}{3}x daripada kedua-dua belah.

$$y-\frac{4}{3}x=-2$$

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$y-\frac{1}{3}x=1,y-\frac{4}{3}x=-2$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&-\frac{4}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&-\frac{4}{3}\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&-\frac{4}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&-\frac{4}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&-\frac{4}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&-\frac{4}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&-\frac{4}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{\frac{4}{3}}{-\frac{4}{3}-\left(-\frac{1}{3}\right)}&-\frac{-\frac{1}{3}}{-\frac{4}{3}-\left(-\frac{1}{3}\right)}\\-\frac{1}{-\frac{4}{3}-\left(-\frac{1}{3}\right)}&\frac{1}{-\frac{4}{3}-\left(-\frac{1}{3}\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{3}&-\frac{1}{3}\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{3}-\frac{1}{3}\left(-2\right)\\1-\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks y dan x.

$$y=2,x=3$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Pertimbangkan persamaan pertama. Tolak \frac{1}{3}x daripada kedua-dua belah.

$$y-\frac{1}{3}x=1$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Tolak \frac{4}{3}x daripada kedua-dua belah.

$$y-\frac{4}{3}x=-2$$

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$y-\frac{1}{3}x=1,y-\frac{4}{3}x=-2$$

Tolak y-\frac{4}{3}x=-2 daripada y-\frac{1}{3}x=1 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$y-y-\frac{1}{3}x+\frac{4}{3}x=1+2$$

Tambahkan y pada -y. Seubtan y dan -y saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$-\frac{1}{3}x+\frac{4}{3}x=1+2$$

Tambahkan -\frac{x}{3} pada \frac{4x}{3}.

$$x=1+2$$

Tambahkan 1 pada 2.

$$x=3$$

Gantikan 3 dengan x dalam y-\frac{4}{3}x=-2. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk y.

$$y-\frac{4}{3}\times 3=-2$$

Darabkan -\frac{4}{3} kali 3.

$$y-4=-2$$

Tambahkan 4 pada kedua-dua belah persamaan.

$$y=2$$

Sistem kini diselesaikan.

$$y=2,x=3$$