Selesaikan {l}{y=1/2x-4}{y=-1/4x-1}

$$\left. \begin{array} { l } { y = \frac { 1 } { 2 } x - 4 } \\ { y = - \frac { 1 } { 4 } x - 1 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk y, x

$$x=4$$

$$y=-2$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Pertimbangkan persamaan pertama. Tolak \frac{1}{2}x daripada kedua-dua belah.

$$y-\frac{1}{2}x=-4$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Tambahkan \frac{1}{4}x pada kedua-dua belah.

$$y+\frac{1}{4}x=-1$$

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$y-\frac{1}{2}x=-4,y+\frac{1}{4}x=-1$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk y dengan mengasingkan y di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$y-\frac{1}{2}x=-4$$

Tambahkan \frac{x}{2} pada kedua-dua belah persamaan.

$$y=\frac{1}{2}x-4$$

Gantikan \frac{x}{2}-4 dengan y dalam persamaan lain, y+\frac{1}{4}x=-1.

$$\frac{1}{2}x-4+\frac{1}{4}x=-1$$

Tambahkan \frac{x}{2} pada \frac{x}{4}.

$$\frac{3}{4}x-4=-1$$

Tambahkan 4 pada kedua-dua belah persamaan.

$$\frac{3}{4}x=3$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan \frac{3}{4} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$x=4$$

Gantikan 4 dengan x dalam y=\frac{1}{2}x-4. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk y.

$$y=\frac{1}{2}\times 4-4$$

Darabkan \frac{1}{2} kali 4.

$$y=2-4$$

Tambahkan -4 pada 2.

$$y=-2$$

Sistem kini diselesaikan.

$$y=-2,x=4$$

Langkah Menggunakan Matriks

Pertimbangkan persamaan pertama. Tolak \frac{1}{2}x daripada kedua-dua belah.

$$y-\frac{1}{2}x=-4$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Tambahkan \frac{1}{4}x pada kedua-dua belah.

$$y+\frac{1}{4}x=-1$$

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$y-\frac{1}{2}x=-4,y+\frac{1}{4}x=-1$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\1&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\-1\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\1&\frac{1}{4}\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\1&\frac{1}{4}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\1&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\1&\frac{1}{4}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\-1\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\1&\frac{1}{4}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\-1\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\1&\frac{1}{4}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\-1\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{1}{4}}{\frac{1}{4}-\left(-\frac{1}{2}\right)}&-\frac{-\frac{1}{2}}{\frac{1}{4}-\left(-\frac{1}{2}\right)}\\-\frac{1}{\frac{1}{4}-\left(-\frac{1}{2}\right)}&\frac{1}{\frac{1}{4}-\left(-\frac{1}{2}\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\-1\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{2}{3}\\-\frac{4}{3}&\frac{4}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\-1\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\left(-4\right)+\frac{2}{3}\left(-1\right)\\-\frac{4}{3}\left(-4\right)+\frac{4}{3}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\4\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks y dan x.

$$y=-2,x=4$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Pertimbangkan persamaan pertama. Tolak \frac{1}{2}x daripada kedua-dua belah.

$$y-\frac{1}{2}x=-4$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Tambahkan \frac{1}{4}x pada kedua-dua belah.

$$y+\frac{1}{4}x=-1$$

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$y-\frac{1}{2}x=-4,y+\frac{1}{4}x=-1$$

Tolak y+\frac{1}{4}x=-1 daripada y-\frac{1}{2}x=-4 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$y-y-\frac{1}{2}x-\frac{1}{4}x=-4+1$$

Tambahkan y pada -y. Seubtan y dan -y saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$-\frac{1}{2}x-\frac{1}{4}x=-4+1$$

Tambahkan -\frac{x}{2} pada -\frac{x}{4}.

$$-\frac{3}{4}x=-4+1$$

Tambahkan -4 pada 1.

$$-\frac{3}{4}x=-3$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan -\frac{3}{4} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$x=4$$

Gantikan 4 dengan x dalam y+\frac{1}{4}x=-1. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk y.

$$y+\frac{1}{4}\times 4=-1$$

Darabkan \frac{1}{4} kali 4.

$$y+1=-1$$

Tolak 1 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$y=-2$$

Sistem kini diselesaikan.

$$y=-2,x=4$$