Selesaikan {l}{y=1/2x+1}{2y+3x=-2}

$$\left. \begin{array} { l } { y = \frac { 1 } { 2 } x + 1 } \\ { 2 y + 3 x = - 2 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk y, x

$$x=-1$$

$$y=\frac{1}{2}=0.5$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Pertimbangkan persamaan pertama. Tolak \frac{1}{2}x daripada kedua-dua belah.

$$y-\frac{1}{2}x=1$$

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$y-\frac{1}{2}x=1,2y+3x=-2$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk y dengan mengasingkan y di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$y-\frac{1}{2}x=1$$

Tambahkan \frac{x}{2} pada kedua-dua belah persamaan.

$$y=\frac{1}{2}x+1$$

Gantikan \frac{x}{2}+1 dengan y dalam persamaan lain, 2y+3x=-2.

$$2\left(\frac{1}{2}x+1\right)+3x=-2$$

Darabkan 2 kali \frac{x}{2}+1.

$$x+2+3x=-2$$

Tambahkan x pada 3x.

$$4x+2=-2$$

Tolak 2 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$4x=-4$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 4.

$$x=-1$$

Gantikan -1 dengan x dalam y=\frac{1}{2}x+1. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk y.

$$y=\frac{1}{2}\left(-1\right)+1$$

Darabkan \frac{1}{2} kali -1.

$$y=-\frac{1}{2}+1$$

Tambahkan 1 pada -\frac{1}{2}.

$$y=\frac{1}{2}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$y=\frac{1}{2},x=-1$$

Langkah Menggunakan Matriks

Pertimbangkan persamaan pertama. Tolak \frac{1}{2}x daripada kedua-dua belah.

$$y-\frac{1}{2}x=1$$

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$y-\frac{1}{2}x=1,2y+3x=-2$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\2&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3-\left(-\frac{1}{2}\times 2\right)}&-\frac{-\frac{1}{2}}{3-\left(-\frac{1}{2}\times 2\right)}\\-\frac{2}{3-\left(-\frac{1}{2}\times 2\right)}&\frac{1}{3-\left(-\frac{1}{2}\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}&\frac{1}{8}\\-\frac{1}{2}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}+\frac{1}{8}\left(-2\right)\\-\frac{1}{2}+\frac{1}{4}\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\\-1\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks y dan x.

$$y=\frac{1}{2},x=-1$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Pertimbangkan persamaan pertama. Tolak \frac{1}{2}x daripada kedua-dua belah.

$$y-\frac{1}{2}x=1$$

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$y-\frac{1}{2}x=1,2y+3x=-2$$

Untuk menjadikan y dan 2y sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 2 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 1.

$$2y+2\left(-\frac{1}{2}\right)x=2,2y+3x=-2$$

Permudahkan.

$$2y-x=2,2y+3x=-2$$

Tolak 2y+3x=-2 daripada 2y-x=2 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$2y-2y-x-3x=2+2$$

Tambahkan 2y pada -2y. Seubtan 2y dan -2y saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$-x-3x=2+2$$

Tambahkan -x pada -3x.

$$-4x=2+2$$

Tambahkan 2 pada 2.

$$-4x=4$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -4.

$$x=-1$$

Gantikan -1 dengan x dalam 2y+3x=-2. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk y.

$$2y+3\left(-1\right)=-2$$

Darabkan 3 kali -1.

$$2y-3=-2$$

Tambahkan 3 pada kedua-dua belah persamaan.

$$2y=1$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$y=\frac{1}{2}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$y=\frac{1}{2},x=-1$$