Selesaikan {l}{y+x+3=9}{2y-x-5=15}

$$\left. \begin{array} { l } { y + x + 3 = 9 } \\ { 2 y - x - 5 = 15 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk y, x

$$x = -\frac{8}{3} = -2\frac{2}{3} \approx -2.666666667$$

$$y = \frac{26}{3} = 8\frac{2}{3} \approx 8.666666667$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$y+x+3=9,2y-x-5=15$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk y dengan mengasingkan y di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$y+x+3=9$$

Tolak 3 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$y+x=6$$

Tolak x daripada kedua-dua belah persamaan.

$$y=-x+6$$

Gantikan -x+6 dengan y dalam persamaan lain, 2y-x-5=15.

$$2\left(-x+6\right)-x-5=15$$

Darabkan 2 kali -x+6.

$$-2x+12-x-5=15$$

Tambahkan -2x pada -x.

$$-3x+12-5=15$$

Tambahkan 12 pada -5.

$$-3x+7=15$$

Tolak 7 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-3x=8$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -3.

$$x=-\frac{8}{3}$$

Gantikan -\frac{8}{3} dengan x dalam y=-x+6. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk y.

$$y=-\left(-\frac{8}{3}\right)+6$$

Darabkan -1 kali -\frac{8}{3}.

$$y=\frac{8}{3}+6$$

Tambahkan 6 pada \frac{8}{3}.

$$y=\frac{26}{3}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$y=\frac{26}{3},x=-\frac{8}{3}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$y+x+3=9,2y-x-5=15$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\20\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}1&1\\2&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\20\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\20\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\20\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-2}&-\frac{1}{-1-2}\\-\frac{2}{-1-2}&\frac{1}{-1-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\20\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\\\frac{2}{3}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\20\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\times 6+\frac{1}{3}\times 20\\\frac{2}{3}\times 6-\frac{1}{3}\times 20\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{26}{3}\\-\frac{8}{3}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks y dan x.

$$y=\frac{26}{3},x=-\frac{8}{3}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$y+x+3=9,2y-x-5=15$$

Untuk menjadikan y dan 2y sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 2 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 1.

$$2y+2x+2\times 3=2\times 9,2y-x-5=15$$

Permudahkan.

$$2y+2x+6=18,2y-x-5=15$$

Tolak 2y-x-5=15 daripada 2y+2x+6=18 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$2y-2y+2x+x+6+5=18-15$$

Tambahkan 2y pada -2y. Seubtan 2y dan -2y saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$2x+x+6+5=18-15$$

Tambahkan 2x pada x.

$$3x+6+5=18-15$$

Tambahkan 6 pada 5.

$$3x+11=18-15$$

Tambahkan 18 pada -15.

$$3x+11=3$$

Tolak 11 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$3x=-8$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 3.

$$x=-\frac{8}{3}$$

Gantikan -\frac{8}{3} dengan x dalam 2y-x-5=15. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk y.

$$2y-\left(-\frac{8}{3}\right)-5=15$$

Tambahkan \frac{8}{3} pada -5.

$$2y-\frac{7}{3}=15$$

Tambahkan \frac{7}{3} pada kedua-dua belah persamaan.

$$2y=\frac{52}{3}$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$y=\frac{26}{3}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$y=\frac{26}{3},x=-\frac{8}{3}$$