Selesaikan {l}{y+4x-6=0}{3x-y=7}

$$\left. \begin{array} { l } { y + 4 x - 6 = 0 } \\ { 3 x - y = 7 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk y, x

$$x = \frac{13}{7} = 1\frac{6}{7} \approx 1.857142857$$

$$y = -\frac{10}{7} = -1\frac{3}{7} \approx -1.428571429$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$y+4x-6=0,-y+3x=7$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk y dengan mengasingkan y di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$y+4x-6=0$$

Tambahkan 6 pada kedua-dua belah persamaan.

$$y+4x=6$$

Tolak 4x daripada kedua-dua belah persamaan.

$$y=-4x+6$$

Gantikan -4x+6 dengan y dalam persamaan lain, -y+3x=7.

$$-\left(-4x+6\right)+3x=7$$

Darabkan -1 kali -4x+6.

$$4x-6+3x=7$$

Tambahkan 4x pada 3x.

$$7x-6=7$$

Tambahkan 6 pada kedua-dua belah persamaan.

$$7x=13$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 7.

$$x=\frac{13}{7}$$

Gantikan \frac{13}{7} dengan x dalam y=-4x+6. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk y.

$$y=-4\times \frac{13}{7}+6$$

Darabkan -4 kali \frac{13}{7}.

$$y=-\frac{52}{7}+6$$

Tambahkan 6 pada -\frac{52}{7}.

$$y=-\frac{10}{7}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$y=-\frac{10}{7},x=\frac{13}{7}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$y+4x-6=0,-y+3x=7$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}1&4\\-1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\7\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}1&4\\-1&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\-1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&4\\-1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\-1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\7\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\-1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\7\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\-1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\7\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3-4\left(-1\right)}&-\frac{4}{3-4\left(-1\right)}\\-\frac{-1}{3-4\left(-1\right)}&\frac{1}{3-4\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\7\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{7}&-\frac{4}{7}\\\frac{1}{7}&\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\7\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{7}\times 6-\frac{4}{7}\times 7\\\frac{1}{7}\times 6+\frac{1}{7}\times 7\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{10}{7}\\\frac{13}{7}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks y dan x.

$$y=-\frac{10}{7},x=\frac{13}{7}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$y+4x-6=0,-y+3x=7$$

Untuk menjadikan y dan -y sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan -1 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 1.

$$-y-4x-\left(-6\right)=0,-y+3x=7$$

Permudahkan.

$$-y-4x+6=0,-y+3x=7$$

Tolak -y+3x=7 daripada -y-4x+6=0 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$-y+y-4x-3x+6=-7$$

Tambahkan -y pada y. Seubtan -y dan y saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$-4x-3x+6=-7$$

Tambahkan -4x pada -3x.

$$-7x+6=-7$$

Tolak 6 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-7x=-13$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -7.

$$x=\frac{13}{7}$$

Gantikan \frac{13}{7} dengan x dalam -y+3x=7. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk y.

$$-y+3\times \frac{13}{7}=7$$

Darabkan 3 kali \frac{13}{7}.

$$-y+\frac{39}{7}=7$$

Tolak \frac{39}{7} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-y=\frac{10}{7}$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -1.

$$y=-\frac{10}{7}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$y=-\frac{10}{7},x=\frac{13}{7}$$