Selesaikan {l}{y+3x=56}{x+4y=34}

$$\left. \begin{array} { l } { y + 3 x = 56 } \\ { x + 4 y = 34 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk y, x

$$x = \frac{190}{11} = 17\frac{3}{11} \approx 17.272727273$$

$$y = \frac{46}{11} = 4\frac{2}{11} \approx 4.181818182$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$y+3x=56,4y+x=34$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk y dengan mengasingkan y di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$y+3x=56$$

Tolak 3x daripada kedua-dua belah persamaan.

$$y=-3x+56$$

Gantikan -3x+56 dengan y dalam persamaan lain, 4y+x=34.

$$4\left(-3x+56\right)+x=34$$

Darabkan 4 kali -3x+56.

$$-12x+224+x=34$$

Tambahkan -12x pada x.

$$-11x+224=34$$

Tolak 224 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-11x=-190$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -11.

$$x=\frac{190}{11}$$

Gantikan \frac{190}{11} dengan x dalam y=-3x+56. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk y.

$$y=-3\times \frac{190}{11}+56$$

Darabkan -3 kali \frac{190}{11}.

$$y=-\frac{570}{11}+56$$

Tambahkan 56 pada -\frac{570}{11}.

$$y=\frac{46}{11}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$y=\frac{46}{11},x=\frac{190}{11}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$y+3x=56,4y+x=34$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}1&3\\4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}56\\34\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}1&3\\4&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&3\\4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}56\\34\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}56\\34\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}56\\34\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-3\times 4}&-\frac{3}{1-3\times 4}\\-\frac{4}{1-3\times 4}&\frac{1}{1-3\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}56\\34\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{11}&\frac{3}{11}\\\frac{4}{11}&-\frac{1}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}56\\34\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{11}\times 56+\frac{3}{11}\times 34\\\frac{4}{11}\times 56-\frac{1}{11}\times 34\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{46}{11}\\\frac{190}{11}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks y dan x.

$$y=\frac{46}{11},x=\frac{190}{11}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$y+3x=56,4y+x=34$$

Untuk menjadikan y dan 4y sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 4 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 1.

$$4y+4\times 3x=4\times 56,4y+x=34$$

Permudahkan.

$$4y+12x=224,4y+x=34$$

Tolak 4y+x=34 daripada 4y+12x=224 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$4y-4y+12x-x=224-34$$

Tambahkan 4y pada -4y. Seubtan 4y dan -4y saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$12x-x=224-34$$

Tambahkan 12x pada -x.

$$11x=224-34$$

Tambahkan 224 pada -34.

$$11x=190$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 11.

$$x=\frac{190}{11}$$

Gantikan \frac{190}{11} dengan x dalam 4y+x=34. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk y.

$$4y+\frac{190}{11}=34$$

Tolak \frac{190}{11} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$4y=\frac{184}{11}$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 4.

$$y=\frac{46}{11}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$y=\frac{46}{11},x=\frac{190}{11}$$