Selesaikan {l}{y+25x=45}{y+.30x=35}

$$\left. \begin{array} { l } { y + 25 x = 45 } \\ { y + .30 x = 35 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk y, x

$$x=\frac{100}{247}\approx 0.4048583$$

$$y = \frac{8615}{247} = 34\frac{217}{247} \approx 34.87854251$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$y+25x=45,y+0.3x=35$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk y dengan mengasingkan y di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$y+25x=45$$

Tolak 25x daripada kedua-dua belah persamaan.

$$y=-25x+45$$

Gantikan -25x+45 dengan y dalam persamaan lain, y+0.3x=35.

$$-25x+45+0.3x=35$$

Tambahkan -25x pada \frac{3x}{10}.

$$-24.7x+45=35$$

Tolak 45 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-24.7x=-10$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan -24.7 yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$x=\frac{100}{247}$$

Gantikan \frac{100}{247} dengan x dalam y=-25x+45. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk y.

$$y=-25\times \frac{100}{247}+45$$

Darabkan -25 kali \frac{100}{247}.

$$y=-\frac{2500}{247}+45$$

Tambahkan 45 pada -\frac{2500}{247}.

$$y=\frac{8615}{247}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$y=\frac{8615}{247},x=\frac{100}{247}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$y+25x=45,y+0.3x=35$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}1&25\\1&0.3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}45\\35\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}1&25\\1&0.3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&25\\1&0.3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&25\\1&0.3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&25\\1&0.3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}45\\35\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&25\\1&0.3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}45\\35\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&25\\1&0.3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}45\\35\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{0.3}{0.3-25}&-\frac{25}{0.3-25}\\-\frac{1}{0.3-25}&\frac{1}{0.3-25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}45\\35\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{247}&\frac{250}{247}\\\frac{10}{247}&-\frac{10}{247}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}45\\35\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{247}\times 45+\frac{250}{247}\times 35\\\frac{10}{247}\times 45-\frac{10}{247}\times 35\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8615}{247}\\\frac{100}{247}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks y dan x.

$$y=\frac{8615}{247},x=\frac{100}{247}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$y+25x=45,y+0.3x=35$$

Tolak y+0.3x=35 daripada y+25x=45 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$y-y+25x-0.3x=45-35$$

Tambahkan y pada -y. Seubtan y dan -y saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$25x-0.3x=45-35$$

Tambahkan 25x pada -\frac{3x}{10}.

$$24.7x=45-35$$

Tambahkan 45 pada -35.

$$24.7x=10$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan 24.7 yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$x=\frac{100}{247}$$

Gantikan \frac{100}{247} dengan x dalam y+0.3x=35. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk y.

$$y+0.3\times \frac{100}{247}=35$$

Darabkan 0.3 dengan \frac{100}{247} dengan mendarabkan pengangka dengan pengangka dan penyebut dengan penyebut. Kemudian kurangkan pecahan tersebut ke sebutan terendah yang mungkin.

$$y+\frac{30}{247}=35$$

Tolak \frac{30}{247} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$y=\frac{8615}{247}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$y=\frac{8615}{247},x=\frac{100}{247}$$