Selesaikan {l}{x-y=5}{3x-4y=12}

$$\left. \begin{array} { l } { x - y = 5 } \\ { 3 x - 4 y = 12 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=8$$

$$y=3$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$x-y=5,3x-4y=12$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$x-y=5$$

Tambahkan y pada kedua-dua belah persamaan.

$$x=y+5$$

Gantikan y+5 dengan x dalam persamaan lain, 3x-4y=12.

$$3\left(y+5\right)-4y=12$$

Darabkan 3 kali y+5.

$$3y+15-4y=12$$

Tambahkan 3y pada -4y.

$$-y+15=12$$

Tolak 15 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-y=-3$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -1.

$$y=3$$

Gantikan 3 dengan y dalam x=y+5. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=3+5$$

Tambahkan 5 pada 3.

$$x=8$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=8,y=3$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$x-y=5,3x-4y=12$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\3&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\12\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}1&-1\\3&-4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\3&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\3&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\3&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\12\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\3&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\12\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\3&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\12\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{-4-\left(-3\right)}&-\frac{-1}{-4-\left(-3\right)}\\-\frac{3}{-4-\left(-3\right)}&\frac{1}{-4-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\12\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4&-1\\3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\12\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\times 5-12\\3\times 5-12\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\3\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=8,y=3$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$x-y=5,3x-4y=12$$

Untuk menjadikan x dan 3x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 3 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 1.

$$3x+3\left(-1\right)y=3\times 5,3x-4y=12$$

Permudahkan.

$$3x-3y=15,3x-4y=12$$

Tolak 3x-4y=12 daripada 3x-3y=15 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$3x-3x-3y+4y=15-12$$

Tambahkan 3x pada -3x. Seubtan 3x dan -3x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$-3y+4y=15-12$$

Tambahkan -3y pada 4y.

$$y=15-12$$

Tambahkan 15 pada -12.

$$y=3$$

Gantikan 3 dengan y dalam 3x-4y=12. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$3x-4\times 3=12$$

Darabkan -4 kali 3.

$$3x-12=12$$

Tambahkan 12 pada kedua-dua belah persamaan.

$$3x=24$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 3.

$$x=8$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=8,y=3$$