Selesaikan {l}{x-y=5}{2x+y=4}

$$\left. \begin{array} { l } { x - y = 5 } \\ { 2 x + y = 4 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=3$$

$$y=-2$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$x-y=5,2x+y=4$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$x-y=5$$

Tambahkan y pada kedua-dua belah persamaan.

$$x=y+5$$

Gantikan y+5 dengan x dalam persamaan lain, 2x+y=4.

$$2\left(y+5\right)+y=4$$

Darabkan 2 kali y+5.

$$2y+10+y=4$$

Tambahkan 2y pada y.

$$3y+10=4$$

Tolak 10 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$3y=-6$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 3.

$$y=-2$$

Gantikan -2 dengan y dalam x=y+5. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-2+5$$

Tambahkan 5 pada -2.

$$x=3$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=3,y=-2$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$x-y=5,2x+y=4$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\4\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}1&-1\\2&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\4\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\4\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\4\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-2\right)}&-\frac{-1}{1-\left(-2\right)}\\-\frac{2}{1-\left(-2\right)}&\frac{1}{1-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\4\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\\-\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\4\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\times 5+\frac{1}{3}\times 4\\-\frac{2}{3}\times 5+\frac{1}{3}\times 4\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-2\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=3,y=-2$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$x-y=5,2x+y=4$$

Untuk menjadikan x dan 2x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 2 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 1.

$$2x+2\left(-1\right)y=2\times 5,2x+y=4$$

Permudahkan.

$$2x-2y=10,2x+y=4$$

Tolak 2x+y=4 daripada 2x-2y=10 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$2x-2x-2y-y=10-4$$

Tambahkan 2x pada -2x. Seubtan 2x dan -2x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$-2y-y=10-4$$

Tambahkan -2y pada -y.

$$-3y=10-4$$

Tambahkan 10 pada -4.

$$-3y=6$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -3.

$$y=-2$$

Gantikan -2 dengan y dalam 2x+y=4. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$2x-2=4$$

Tambahkan 2 pada kedua-dua belah persamaan.

$$2x=6$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$x=3$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=3,y=-2$$