Selesaikan {l}{x-y=4}{2x-5y=2}

$$\left. \begin{array} { l } { x - y = 4 } \\ { 2 x - 5 y = 2 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=6$$

$$y=2$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$x-y=4,2x-5y=2$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$x-y=4$$

Tambahkan y pada kedua-dua belah persamaan.

$$x=y+4$$

Gantikan y+4 dengan x dalam persamaan lain, 2x-5y=2.

$$2\left(y+4\right)-5y=2$$

Darabkan 2 kali y+4.

$$2y+8-5y=2$$

Tambahkan 2y pada -5y.

$$-3y+8=2$$

Tolak 8 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-3y=-6$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -3.

$$y=2$$

Gantikan 2 dengan y dalam x=y+4. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=2+4$$

Tambahkan 4 pada 2.

$$x=6$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=6,y=2$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$x-y=4,2x-5y=2$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\2&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}1&-1\\2&-5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\2&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\2&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\2&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\2&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\2&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{-5-\left(-2\right)}&-\frac{-1}{-5-\left(-2\right)}\\-\frac{2}{-5-\left(-2\right)}&\frac{1}{-5-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{3}&-\frac{1}{3}\\\frac{2}{3}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{3}\times 4-\frac{1}{3}\times 2\\\frac{2}{3}\times 4-\frac{1}{3}\times 2\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\2\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=6,y=2$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$x-y=4,2x-5y=2$$

Untuk menjadikan x dan 2x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 2 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 1.

$$2x+2\left(-1\right)y=2\times 4,2x-5y=2$$

Permudahkan.

$$2x-2y=8,2x-5y=2$$

Tolak 2x-5y=2 daripada 2x-2y=8 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$2x-2x-2y+5y=8-2$$

Tambahkan 2x pada -2x. Seubtan 2x dan -2x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$-2y+5y=8-2$$

Tambahkan -2y pada 5y.

$$3y=8-2$$

Tambahkan 8 pada -2.

$$3y=6$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 3.

$$y=2$$

Gantikan 2 dengan y dalam 2x-5y=2. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$2x-5\times 2=2$$

Darabkan -5 kali 2.

$$2x-10=2$$

Tambahkan 10 pada kedua-dua belah persamaan.

$$2x=12$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$x=6$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=6,y=2$$