Selesaikan {l}{x-y=21}{x-y/20=16}

$$\left. \begin{array} { l } { x - y = 21 } \\ { x - \frac { y } { 20 } = 16 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x = \frac{299}{19} = 15\frac{14}{19} \approx 15.736842105$$

$$y = -\frac{100}{19} = -5\frac{5}{19} \approx -5.263157895$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Pertimbangkan persamaan kedua. Darabkan kedua-dua belah persamaan dengan 20.

$$20x-y=320$$

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$x-y=21,20x-y=320$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$x-y=21$$

Tambahkan y pada kedua-dua belah persamaan.

$$x=y+21$$

Gantikan y+21 dengan x dalam persamaan lain, 20x-y=320.

$$20\left(y+21\right)-y=320$$

Darabkan 20 kali y+21.

$$20y+420-y=320$$

Tambahkan 20y pada -y.

$$19y+420=320$$

Tolak 420 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$19y=-100$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 19.

$$y=-\frac{100}{19}$$

Gantikan -\frac{100}{19} dengan y dalam x=y+21. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-\frac{100}{19}+21$$

Tambahkan 21 pada -\frac{100}{19}.

$$x=\frac{299}{19}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{299}{19},y=-\frac{100}{19}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Pertimbangkan persamaan kedua. Darabkan kedua-dua belah persamaan dengan 20.

$$20x-y=320$$

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$x-y=21,20x-y=320$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\20&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}21\\320\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}1&-1\\20&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\20&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\20&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\20&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\320\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\20&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\320\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\20&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\320\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-\left(-20\right)}&-\frac{-1}{-1-\left(-20\right)}\\-\frac{20}{-1-\left(-20\right)}&\frac{1}{-1-\left(-20\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}21\\320\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{19}&\frac{1}{19}\\-\frac{20}{19}&\frac{1}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}21\\320\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{19}\times 21+\frac{1}{19}\times 320\\-\frac{20}{19}\times 21+\frac{1}{19}\times 320\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{299}{19}\\-\frac{100}{19}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=\frac{299}{19},y=-\frac{100}{19}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Pertimbangkan persamaan kedua. Darabkan kedua-dua belah persamaan dengan 20.

$$20x-y=320$$

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$x-y=21,20x-y=320$$

Tolak 20x-y=320 daripada x-y=21 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$x-20x-y+y=21-320$$

Tambahkan -y pada y. Seubtan -y dan y saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$x-20x=21-320$$

Tambahkan x pada -20x.

$$-19x=21-320$$

Tambahkan 21 pada -320.

$$-19x=-299$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -19.

$$x=\frac{299}{19}$$

Gantikan \frac{299}{19} dengan x dalam 20x-y=320. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk y.

$$20\times \frac{299}{19}-y=320$$

Darabkan 20 kali \frac{299}{19}.

$$\frac{5980}{19}-y=320$$

Tolak \frac{5980}{19} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-y=\frac{100}{19}$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -1.

$$y=-\frac{100}{19}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{299}{19},y=-\frac{100}{19}$$