Selesaikan {l}{x-y=16}{2y=x+5}

$$\left. \begin{array} { l } { x - y = 16 } \\ { 2 y = x + 5 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=37$$

$$y=21$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Pertimbangkan persamaan kedua. Tolak x daripada kedua-dua belah.

$$2y-x=5$$

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$x-y=16,-x+2y=5$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$x-y=16$$

Tambahkan y pada kedua-dua belah persamaan.

$$x=y+16$$

Gantikan y+16 dengan x dalam persamaan lain, -x+2y=5.

$$-\left(y+16\right)+2y=5$$

Darabkan -1 kali y+16.

$$-y-16+2y=5$$

Tambahkan -y pada 2y.

$$y-16=5$$

Tambahkan 16 pada kedua-dua belah persamaan.

$$y=21$$

Gantikan 21 dengan y dalam x=y+16. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=21+16$$

Tambahkan 16 pada 21.

$$x=37$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=37,y=21$$

Langkah Menggunakan Matriks

Pertimbangkan persamaan kedua. Tolak x daripada kedua-dua belah.

$$2y-x=5$$

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$x-y=16,-x+2y=5$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\-1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}16\\5\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}1&-1\\-1&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\-1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\5\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\5\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\5\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2-\left(-\left(-1\right)\right)}&-\frac{-1}{2-\left(-\left(-1\right)\right)}\\-\frac{-1}{2-\left(-\left(-1\right)\right)}&\frac{1}{2-\left(-\left(-1\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}16\\5\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2&1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}16\\5\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\times 16+5\\16+5\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}37\\21\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=37,y=21$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Pertimbangkan persamaan kedua. Tolak x daripada kedua-dua belah.

$$2y-x=5$$

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$x-y=16,-x+2y=5$$

Untuk menjadikan x dan -x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan -1 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 1.

$$-x-\left(-y\right)=-16,-x+2y=5$$

Permudahkan.

$$-x+y=-16,-x+2y=5$$

Tolak -x+2y=5 daripada -x+y=-16 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$-x+x+y-2y=-16-5$$

Tambahkan -x pada x. Seubtan -x dan x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$y-2y=-16-5$$

Tambahkan y pada -2y.

$$-y=-16-5$$

Tambahkan -16 pada -5.

$$-y=-21$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -1.

$$y=21$$

Gantikan 21 dengan y dalam -x+2y=5. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$-x+2\times 21=5$$

Darabkan 2 kali 21.

$$-x+42=5$$

Tolak 42 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-x=-37$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -1.

$$x=37$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=37,y=21$$