Selesaikan {l}{x-y=1}{y=-4x+4}

$$\left. \begin{array} { l } { x - y = 1 } \\ { y = - 4 x + 4 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=1$$

$$y=0$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Pertimbangkan persamaan kedua. Tambahkan 4x pada kedua-dua belah.

$$y+4x=4$$

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$x-y=1,4x+y=4$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$x-y=1$$

Tambahkan y pada kedua-dua belah persamaan.

$$x=y+1$$

Gantikan y+1 dengan x dalam persamaan lain, 4x+y=4.

$$4\left(y+1\right)+y=4$$

Darabkan 4 kali y+1.

$$4y+4+y=4$$

Tambahkan 4y pada y.

$$5y+4=4$$

Tolak 4 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$5y=0$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 5.

$$y=0$$

Gantikan 0 dengan y dalam x=y+1. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=1$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=1,y=0$$

Langkah Menggunakan Matriks

Pertimbangkan persamaan kedua. Tambahkan 4x pada kedua-dua belah.

$$y+4x=4$$

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$x-y=1,4x+y=4$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}1&-1\\4&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-4\right)}&-\frac{-1}{1-\left(-4\right)}\\-\frac{4}{1-\left(-4\right)}&\frac{1}{1-\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&\frac{1}{5}\\-\frac{4}{5}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}+\frac{1}{5}\times 4\\-\frac{4}{5}+\frac{1}{5}\times 4\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\0\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=1,y=0$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Pertimbangkan persamaan kedua. Tambahkan 4x pada kedua-dua belah.

$$y+4x=4$$

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$x-y=1,4x+y=4$$

Untuk menjadikan x dan 4x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 4 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 1.

$$4x+4\left(-1\right)y=4,4x+y=4$$

Permudahkan.

$$4x-4y=4,4x+y=4$$

Tolak 4x+y=4 daripada 4x-4y=4 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$4x-4x-4y-y=4-4$$

Tambahkan 4x pada -4x. Seubtan 4x dan -4x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$-4y-y=4-4$$

Tambahkan -4y pada -y.

$$-5y=4-4$$

Tambahkan 4 pada -4.

$$-5y=0$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -5.

$$y=0$$

Gantikan 0 dengan y dalam 4x+y=4. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$4x=4$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 4.

$$x=1$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=1,y=0$$