Selesaikan {l}{x-8y=10}{-5x+10y=10}

$$\left. \begin{array} { l } { x - 8 y = 10 } \\ { - 5 x + 10 y = 10 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=-6$$

$$y=-2$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$x-8y=10,-5x+10y=10$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$x-8y=10$$

Tambahkan 8y pada kedua-dua belah persamaan.

$$x=8y+10$$

Gantikan 8y+10 dengan x dalam persamaan lain, -5x+10y=10.

$$-5\left(8y+10\right)+10y=10$$

Darabkan -5 kali 8y+10.

$$-40y-50+10y=10$$

Tambahkan -40y pada 10y.

$$-30y-50=10$$

Tambahkan 50 pada kedua-dua belah persamaan.

$$-30y=60$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -30.

$$y=-2$$

Gantikan -2 dengan y dalam x=8y+10. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=8\left(-2\right)+10$$

Darabkan 8 kali -2.

$$x=-16+10$$

Tambahkan 10 pada -16.

$$x=-6$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-6,y=-2$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$x-8y=10,-5x+10y=10$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}1&-8\\-5&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\10\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}1&-8\\-5&10\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-8\\-5&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-8\\-5&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-8\\-5&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\10\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-8\\-5&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\10\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-8\\-5&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\10\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{10}{10-\left(-8\left(-5\right)\right)}&-\frac{-8}{10-\left(-8\left(-5\right)\right)}\\-\frac{-5}{10-\left(-8\left(-5\right)\right)}&\frac{1}{10-\left(-8\left(-5\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\10\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}&-\frac{4}{15}\\-\frac{1}{6}&-\frac{1}{30}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\10\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\times 10-\frac{4}{15}\times 10\\-\frac{1}{6}\times 10-\frac{1}{30}\times 10\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6\\-2\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=-6,y=-2$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$x-8y=10,-5x+10y=10$$

Untuk menjadikan x dan -5x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan -5 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 1.

$$-5x-5\left(-8\right)y=-5\times 10,-5x+10y=10$$

Permudahkan.

$$-5x+40y=-50,-5x+10y=10$$

Tolak -5x+10y=10 daripada -5x+40y=-50 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$-5x+5x+40y-10y=-50-10$$

Tambahkan -5x pada 5x. Seubtan -5x dan 5x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$40y-10y=-50-10$$

Tambahkan 40y pada -10y.

$$30y=-50-10$$

Tambahkan -50 pada -10.

$$30y=-60$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 30.

$$y=-2$$

Gantikan -2 dengan y dalam -5x+10y=10. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$-5x+10\left(-2\right)=10$$

Darabkan 10 kali -2.

$$-5x-20=10$$

Tambahkan 20 pada kedua-dua belah persamaan.

$$-5x=30$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -5.

$$x=-6$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-6,y=-2$$