Selesaikan {l}{x-6=y-6/5}{x+9=y/2}

$$\left. \begin{array} { l } { x - 6 = \frac { y - 6 } { 5 } } \\ { x + 9 = \frac { y } { 2 } } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=14$$

$$y=46$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Pertimbangkan persamaan pertama. Darabkan kedua-dua belah persamaan dengan 5.

$$5x-30=y-6$$

Tolak y daripada kedua-dua belah.

$$5x-30-y=-6$$

Tambahkan 30 pada kedua-dua belah.

$$5x-y=-6+30$$

Tambahkan -6 dan 30 untuk dapatkan 24.

$$5x-y=24$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Darabkan kedua-dua belah persamaan dengan 2.

$$2x+18=y$$

Tolak y daripada kedua-dua belah.

$$2x+18-y=0$$

Tolak 18 daripada kedua-dua belah. Apa-apa sahaja yang ditolak daripada sifar menjadikannya negatif.

$$2x-y=-18$$

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$5x-y=24,2x-y=-18$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$5x-y=24$$

Tambahkan y pada kedua-dua belah persamaan.

$$5x=y+24$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(y+24\right)$$

Darabkan \frac{1}{5} kali y+24.

$$x=\frac{1}{5}y+\frac{24}{5}$$

Gantikan \frac{24+y}{5} dengan x dalam persamaan lain, 2x-y=-18.

$$2\left(\frac{1}{5}y+\frac{24}{5}\right)-y=-18$$

Darabkan 2 kali \frac{24+y}{5}.

$$\frac{2}{5}y+\frac{48}{5}-y=-18$$

Tambahkan \frac{2y}{5} pada -y.

$$-\frac{3}{5}y+\frac{48}{5}=-18$$

Tolak \frac{48}{5} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-\frac{3}{5}y=-\frac{138}{5}$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan -\frac{3}{5} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=46$$

Gantikan 46 dengan y dalam x=\frac{1}{5}y+\frac{24}{5}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=\frac{1}{5}\times 46+\frac{24}{5}$$

Darabkan \frac{1}{5} kali 46.

$$x=\frac{46+24}{5}$$

Tambahkan \frac{24}{5} pada \frac{46}{5} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x=14$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=14,y=46$$

Langkah Menggunakan Matriks

Pertimbangkan persamaan pertama. Darabkan kedua-dua belah persamaan dengan 5.

$$5x-30=y-6$$

Tolak y daripada kedua-dua belah.

$$5x-30-y=-6$$

Tambahkan 30 pada kedua-dua belah.

$$5x-y=-6+30$$

Tambahkan -6 dan 30 untuk dapatkan 24.

$$5x-y=24$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Darabkan kedua-dua belah persamaan dengan 2.

$$2x+18=y$$

Tolak y daripada kedua-dua belah.

$$2x+18-y=0$$

Tolak 18 daripada kedua-dua belah. Apa-apa sahaja yang ditolak daripada sifar menjadikannya negatif.

$$2x-y=-18$$

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$5x-y=24,2x-y=-18$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}5&-1\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}24\\-18\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}5&-1\\2&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-1\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\-18\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\-18\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\-18\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5\left(-1\right)-\left(-2\right)}&-\frac{-1}{5\left(-1\right)-\left(-2\right)}\\-\frac{2}{5\left(-1\right)-\left(-2\right)}&\frac{5}{5\left(-1\right)-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}24\\-18\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&-\frac{1}{3}\\\frac{2}{3}&-\frac{5}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}24\\-18\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\times 24-\frac{1}{3}\left(-18\right)\\\frac{2}{3}\times 24-\frac{5}{3}\left(-18\right)\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}14\\46\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=14,y=46$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Pertimbangkan persamaan pertama. Darabkan kedua-dua belah persamaan dengan 5.

$$5x-30=y-6$$

Tolak y daripada kedua-dua belah.

$$5x-30-y=-6$$

Tambahkan 30 pada kedua-dua belah.

$$5x-y=-6+30$$

Tambahkan -6 dan 30 untuk dapatkan 24.

$$5x-y=24$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Darabkan kedua-dua belah persamaan dengan 2.

$$2x+18=y$$

Tolak y daripada kedua-dua belah.

$$2x+18-y=0$$

Tolak 18 daripada kedua-dua belah. Apa-apa sahaja yang ditolak daripada sifar menjadikannya negatif.

$$2x-y=-18$$

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$5x-y=24,2x-y=-18$$

Tolak 2x-y=-18 daripada 5x-y=24 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$5x-2x-y+y=24+18$$

Tambahkan -y pada y. Seubtan -y dan y saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$5x-2x=24+18$$

Tambahkan 5x pada -2x.

$$3x=24+18$$

Tambahkan 24 pada 18.

$$3x=42$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 3.

$$x=14$$

Gantikan 14 dengan x dalam 2x-y=-18. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk y.

$$2\times 14-y=-18$$

Darabkan 2 kali 14.

$$28-y=-18$$

Tolak 28 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-y=-46$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -1.

$$y=46$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=14,y=46$$