Selesaikan {l}{x-4y=27}{3x+y=-23}

$$\left. \begin{array} { l } { x - 4 y = 27 } \\ { 3 x + y = - 23 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=-5$$

$$y=-8$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$x-4y=27,3x+y=-23$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$x-4y=27$$

Tambahkan 4y pada kedua-dua belah persamaan.

$$x=4y+27$$

Gantikan 4y+27 dengan x dalam persamaan lain, 3x+y=-23.

$$3\left(4y+27\right)+y=-23$$

Darabkan 3 kali 4y+27.

$$12y+81+y=-23$$

Tambahkan 12y pada y.

$$13y+81=-23$$

Tolak 81 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$13y=-104$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 13.

$$y=-8$$

Gantikan -8 dengan y dalam x=4y+27. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=4\left(-8\right)+27$$

Darabkan 4 kali -8.

$$x=-32+27$$

Tambahkan 27 pada -32.

$$x=-5$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-5,y=-8$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$x-4y=27,3x+y=-23$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}1&-4\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}27\\-23\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}1&-4\\3&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-4\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}27\\-23\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}27\\-23\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}27\\-23\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-4\times 3\right)}&-\frac{-4}{1-\left(-4\times 3\right)}\\-\frac{3}{1-\left(-4\times 3\right)}&\frac{1}{1-\left(-4\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}27\\-23\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{13}&\frac{4}{13}\\-\frac{3}{13}&\frac{1}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}27\\-23\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{13}\times 27+\frac{4}{13}\left(-23\right)\\-\frac{3}{13}\times 27+\frac{1}{13}\left(-23\right)\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\-8\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=-5,y=-8$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$x-4y=27,3x+y=-23$$

Untuk menjadikan x dan 3x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 3 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 1.

$$3x+3\left(-4\right)y=3\times 27,3x+y=-23$$

Permudahkan.

$$3x-12y=81,3x+y=-23$$

Tolak 3x+y=-23 daripada 3x-12y=81 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$3x-3x-12y-y=81+23$$

Tambahkan 3x pada -3x. Seubtan 3x dan -3x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$-12y-y=81+23$$

Tambahkan -12y pada -y.

$$-13y=81+23$$

Tambahkan 81 pada 23.

$$-13y=104$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -13.

$$y=-8$$

Gantikan -8 dengan y dalam 3x+y=-23. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$3x-8=-23$$

Tambahkan 8 pada kedua-dua belah persamaan.

$$3x=-15$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 3.

$$x=-5$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-5,y=-8$$