Selesaikan {l}{x-4y=-8}{x-2y=-2}

$$\left. \begin{array} { l } { x - 4 y = - 8 } \\ { x - 2 y = - 2 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=4$$

$$y=3$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$x-4y=-8,x-2y=-2$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$x-4y=-8$$

Tambahkan 4y pada kedua-dua belah persamaan.

$$x=4y-8$$

Gantikan -8+4y dengan x dalam persamaan lain, x-2y=-2.

$$4y-8-2y=-2$$

Tambahkan 4y pada -2y.

$$2y-8=-2$$

Tambahkan 8 pada kedua-dua belah persamaan.

$$2y=6$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$y=3$$

Gantikan 3 dengan y dalam x=4y-8. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=4\times 3-8$$

Darabkan 4 kali 3.

$$x=12-8$$

Tambahkan -8 pada 12.

$$x=4$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=4,y=3$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$x-4y=-8,x-2y=-2$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}1&-4\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-8\\-2\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}1&-4\\1&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-4\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\-2\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\-2\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\-2\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{-2-\left(-4\right)}&-\frac{-4}{-2-\left(-4\right)}\\-\frac{1}{-2-\left(-4\right)}&\frac{1}{-2-\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-8\\-2\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&2\\-\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-8\\-2\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\left(-8\right)+2\left(-2\right)\\-\frac{1}{2}\left(-8\right)+\frac{1}{2}\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=4,y=3$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$x-4y=-8,x-2y=-2$$

Tolak x-2y=-2 daripada x-4y=-8 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$x-x-4y+2y=-8+2$$

Tambahkan x pada -x. Seubtan x dan -x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$-4y+2y=-8+2$$

Tambahkan -4y pada 2y.

$$-2y=-8+2$$

Tambahkan -8 pada 2.

$$-2y=-6$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -2.

$$y=3$$

Gantikan 3 dengan y dalam x-2y=-2. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x-2\times 3=-2$$

Darabkan -2 kali 3.

$$x-6=-2$$

Tambahkan 6 pada kedua-dua belah persamaan.

$$x=4$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=4,y=3$$