Selesaikan {l}{x-36y=2}{x-22y=86}

$$\left. \begin{array} { l } { x - 36 y = 2 } \\ { x - 22 y = 86 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=218$$

$$y=6$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$x-36y=2,x-22y=86$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$x-36y=2$$

Tambahkan 36y pada kedua-dua belah persamaan.

$$x=36y+2$$

Gantikan 36y+2 dengan x dalam persamaan lain, x-22y=86.

$$36y+2-22y=86$$

Tambahkan 36y pada -22y.

$$14y+2=86$$

Tolak 2 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$14y=84$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 14.

$$y=6$$

Gantikan 6 dengan y dalam x=36y+2. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=36\times 6+2$$

Darabkan 36 kali 6.

$$x=216+2$$

Tambahkan 2 pada 216.

$$x=218$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=218,y=6$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$x-36y=2,x-22y=86$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}1&-36\\1&-22\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\86\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}1&-36\\1&-22\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-36\\1&-22\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-36\\1&-22\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-36\\1&-22\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\86\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-36\\1&-22\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\86\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-36\\1&-22\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\86\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{22}{-22-\left(-36\right)}&-\frac{-36}{-22-\left(-36\right)}\\-\frac{1}{-22-\left(-36\right)}&\frac{1}{-22-\left(-36\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\86\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{11}{7}&\frac{18}{7}\\-\frac{1}{14}&\frac{1}{14}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\86\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{11}{7}\times 2+\frac{18}{7}\times 86\\-\frac{1}{14}\times 2+\frac{1}{14}\times 86\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}218\\6\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=218,y=6$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$x-36y=2,x-22y=86$$

Tolak x-22y=86 daripada x-36y=2 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$x-x-36y+22y=2-86$$

Tambahkan x pada -x. Seubtan x dan -x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$-36y+22y=2-86$$

Tambahkan -36y pada 22y.

$$-14y=2-86$$

Tambahkan 2 pada -86.

$$-14y=-84$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -14.

$$y=6$$

Gantikan 6 dengan y dalam x-22y=86. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x-22\times 6=86$$

Darabkan -22 kali 6.

$$x-132=86$$

Tambahkan 132 pada kedua-dua belah persamaan.

$$x=218$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=218,y=6$$