Selesaikan {l}{x-3.5y=2}{x-2y=16}

$$\left. \begin{array} { l } { x - 3.5 y = 2 } \\ { x - 2 y = 16 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x = \frac{104}{3} = 34\frac{2}{3} \approx 34.666666667$$

$$y = \frac{28}{3} = 9\frac{1}{3} \approx 9.333333333$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$x-3.5y=2,x-2y=16$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$x-3.5y=2$$

Tambahkan \frac{7y}{2} pada kedua-dua belah persamaan.

$$x=3.5y+2$$

Gantikan \frac{7y}{2}+2 dengan x dalam persamaan lain, x-2y=16.

$$3.5y+2-2y=16$$

Tambahkan \frac{7y}{2} pada -2y.

$$1.5y+2=16$$

Tolak 2 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$1.5y=14$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan 1.5 yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=\frac{28}{3}$$

Gantikan \frac{28}{3} dengan y dalam x=3.5y+2. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=3.5\times \frac{28}{3}+2$$

Darabkan 3.5 dengan \frac{28}{3} dengan mendarabkan pengangka dengan pengangka dan penyebut dengan penyebut. Kemudian kurangkan pecahan tersebut ke sebutan terendah yang mungkin.

$$x=\frac{98}{3}+2$$

Tambahkan 2 pada \frac{98}{3}.

$$x=\frac{104}{3}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{104}{3},y=\frac{28}{3}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$x-3.5y=2,x-2y=16$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}1&-3.5\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\16\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}1&-3.5\\1&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-3.5\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-3.5\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3.5\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\16\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3.5\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\16\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3.5\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\16\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{-2-\left(-3.5\right)}&-\frac{-3.5}{-2-\left(-3.5\right)}\\-\frac{1}{-2-\left(-3.5\right)}&\frac{1}{-2-\left(-3.5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\16\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{3}&\frac{7}{3}\\-\frac{2}{3}&\frac{2}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\16\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{3}\times 2+\frac{7}{3}\times 16\\-\frac{2}{3}\times 2+\frac{2}{3}\times 16\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{104}{3}\\\frac{28}{3}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=\frac{104}{3},y=\frac{28}{3}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$x-3.5y=2,x-2y=16$$

Tolak x-2y=16 daripada x-3.5y=2 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$x-x-3.5y+2y=2-16$$

Tambahkan x pada -x. Seubtan x dan -x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$-3.5y+2y=2-16$$

Tambahkan -\frac{7y}{2} pada 2y.

$$-1.5y=2-16$$

Tambahkan 2 pada -16.

$$-1.5y=-14$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan -1.5 yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=\frac{28}{3}$$

Gantikan \frac{28}{3} dengan y dalam x-2y=16. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x-2\times \frac{28}{3}=16$$

Darabkan -2 kali \frac{28}{3}.

$$x-\frac{56}{3}=16$$

Tambahkan \frac{56}{3} pada kedua-dua belah persamaan.

$$x=\frac{104}{3}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{104}{3},y=\frac{28}{3}$$