Selesaikan {l}{x-3y=3}{2x+3y=6}

$$\left. \begin{array} { l } { x - 3 y = 3 } \\ { 2 x + 3 y = 6 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=3$$

$$y=0$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$x-3y=3,2x+3y=6$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$x-3y=3$$

Tambahkan 3y pada kedua-dua belah persamaan.

$$x=3y+3$$

Gantikan 3+3y dengan x dalam persamaan lain, 2x+3y=6.

$$2\left(3y+3\right)+3y=6$$

Darabkan 2 kali 3+3y.

$$6y+6+3y=6$$

Tambahkan 6y pada 3y.

$$9y+6=6$$

Tolak 6 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$9y=0$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 9.

$$y=0$$

Gantikan 0 dengan y dalam x=3y+3. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=3$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=3,y=0$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$x-3y=3,2x+3y=6$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}1&-3\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\6\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}1&-3\\2&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-3\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\6\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\6\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\6\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3-\left(-3\times 2\right)}&-\frac{-3}{3-\left(-3\times 2\right)}\\-\frac{2}{3-\left(-3\times 2\right)}&\frac{1}{3-\left(-3\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\6\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\\-\frac{2}{9}&\frac{1}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\6\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\times 3+\frac{1}{3}\times 6\\-\frac{2}{9}\times 3+\frac{1}{9}\times 6\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\0\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=3,y=0$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$x-3y=3,2x+3y=6$$

Untuk menjadikan x dan 2x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 2 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 1.

$$2x+2\left(-3\right)y=2\times 3,2x+3y=6$$

Permudahkan.

$$2x-6y=6,2x+3y=6$$

Tolak 2x+3y=6 daripada 2x-6y=6 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$2x-2x-6y-3y=6-6$$

Tambahkan 2x pada -2x. Seubtan 2x dan -2x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$-6y-3y=6-6$$

Tambahkan -6y pada -3y.

$$-9y=6-6$$

Tambahkan 6 pada -6.

$$-9y=0$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -9.

$$y=0$$

Gantikan 0 dengan y dalam 2x+3y=6. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$2x=6$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$x=3$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=3,y=0$$