Selesaikan {l}{x-3y=11}{11y+4x=12}

$$\left. \begin{array} { l } { x - 3 y = 11 } \\ { 11 y + 4 x = 12 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x = \frac{157}{23} = 6\frac{19}{23} \approx 6.826086957$$

$$y = -\frac{32}{23} = -1\frac{9}{23} \approx -1.391304348$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$x-3y=11,4x+11y=12$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$x-3y=11$$

Tambahkan 3y pada kedua-dua belah persamaan.

$$x=3y+11$$

Gantikan 3y+11 dengan x dalam persamaan lain, 4x+11y=12.

$$4\left(3y+11\right)+11y=12$$

Darabkan 4 kali 3y+11.

$$12y+44+11y=12$$

Tambahkan 12y pada 11y.

$$23y+44=12$$

Tolak 44 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$23y=-32$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 23.

$$y=-\frac{32}{23}$$

Gantikan -\frac{32}{23} dengan y dalam x=3y+11. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=3\left(-\frac{32}{23}\right)+11$$

Darabkan 3 kali -\frac{32}{23}.

$$x=-\frac{96}{23}+11$$

Tambahkan 11 pada -\frac{96}{23}.

$$x=\frac{157}{23}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{157}{23},y=-\frac{32}{23}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$x-3y=11,4x+11y=12$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}1&-3\\4&11\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}11\\12\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}1&-3\\4&11\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\4&11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-3\\4&11\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\4&11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\12\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\4&11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\12\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\4&11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\12\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{11}{11-\left(-3\times 4\right)}&-\frac{-3}{11-\left(-3\times 4\right)}\\-\frac{4}{11-\left(-3\times 4\right)}&\frac{1}{11-\left(-3\times 4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}11\\12\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{11}{23}&\frac{3}{23}\\-\frac{4}{23}&\frac{1}{23}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}11\\12\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{11}{23}\times 11+\frac{3}{23}\times 12\\-\frac{4}{23}\times 11+\frac{1}{23}\times 12\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{157}{23}\\-\frac{32}{23}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=\frac{157}{23},y=-\frac{32}{23}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$x-3y=11,4x+11y=12$$

Untuk menjadikan x dan 4x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 4 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 1.

$$4x+4\left(-3\right)y=4\times 11,4x+11y=12$$

Permudahkan.

$$4x-12y=44,4x+11y=12$$

Tolak 4x+11y=12 daripada 4x-12y=44 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$4x-4x-12y-11y=44-12$$

Tambahkan 4x pada -4x. Seubtan 4x dan -4x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$-12y-11y=44-12$$

Tambahkan -12y pada -11y.

$$-23y=44-12$$

Tambahkan 44 pada -12.

$$-23y=32$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -23.

$$y=-\frac{32}{23}$$

Gantikan -\frac{32}{23} dengan y dalam 4x+11y=12. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$4x+11\left(-\frac{32}{23}\right)=12$$

Darabkan 11 kali -\frac{32}{23}.

$$4x-\frac{352}{23}=12$$

Tambahkan \frac{352}{23} pada kedua-dua belah persamaan.

$$4x=\frac{628}{23}$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 4.

$$x=\frac{157}{23}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{157}{23},y=-\frac{32}{23}$$