Selesaikan {l}{x-3y+9=0}{3x-2y+1=0}

$$\left. \begin{array} { l } { x - 3 y + 9 = 0 } \\ { 3 x - 2 y + 1 = 0 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x = \frac{15}{7} = 2\frac{1}{7} \approx 2.142857143$$

$$y = \frac{26}{7} = 3\frac{5}{7} \approx 3.714285714$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$x-3y+9=0,3x-2y+1=0$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$x-3y+9=0$$

Tolak 9 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$x-3y=-9$$

Tambahkan 3y pada kedua-dua belah persamaan.

$$x=3y-9$$

Gantikan -9+3y dengan x dalam persamaan lain, 3x-2y+1=0.

$$3\left(3y-9\right)-2y+1=0$$

Darabkan 3 kali -9+3y.

$$9y-27-2y+1=0$$

Tambahkan 9y pada -2y.

$$7y-27+1=0$$

Tambahkan -27 pada 1.

$$7y-26=0$$

Tambahkan 26 pada kedua-dua belah persamaan.

$$7y=26$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 7.

$$y=\frac{26}{7}$$

Gantikan \frac{26}{7} dengan y dalam x=3y-9. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=3\times \frac{26}{7}-9$$

Darabkan 3 kali \frac{26}{7}.

$$x=\frac{78}{7}-9$$

Tambahkan -9 pada \frac{78}{7}.

$$x=\frac{15}{7}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{15}{7},y=\frac{26}{7}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$x-3y+9=0,3x-2y+1=0$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}1&-3\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-9\\-1\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}1&-3\\3&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-3\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\-1\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\-1\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\-1\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{-2-\left(-3\times 3\right)}&-\frac{-3}{-2-\left(-3\times 3\right)}\\-\frac{3}{-2-\left(-3\times 3\right)}&\frac{1}{-2-\left(-3\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\-1\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{7}&\frac{3}{7}\\-\frac{3}{7}&\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\-1\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{7}\left(-9\right)+\frac{3}{7}\left(-1\right)\\-\frac{3}{7}\left(-9\right)+\frac{1}{7}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{15}{7}\\\frac{26}{7}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=\frac{15}{7},y=\frac{26}{7}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$x-3y+9=0,3x-2y+1=0$$

Untuk menjadikan x dan 3x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 3 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 1.

$$3x+3\left(-3\right)y+3\times 9=0,3x-2y+1=0$$

Permudahkan.

$$3x-9y+27=0,3x-2y+1=0$$

Tolak 3x-2y+1=0 daripada 3x-9y+27=0 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$3x-3x-9y+2y+27-1=0$$

Tambahkan 3x pada -3x. Seubtan 3x dan -3x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$-9y+2y+27-1=0$$

Tambahkan -9y pada 2y.

$$-7y+27-1=0$$

Tambahkan 27 pada -1.

$$-7y+26=0$$

Tolak 26 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-7y=-26$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -7.

$$y=\frac{26}{7}$$

Gantikan \frac{26}{7} dengan y dalam 3x-2y+1=0. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$3x-2\times \frac{26}{7}+1=0$$

Darabkan -2 kali \frac{26}{7}.

$$3x-\frac{52}{7}+1=0$$

Tambahkan -\frac{52}{7} pada 1.

$$3x-\frac{45}{7}=0$$

Tambahkan \frac{45}{7} pada kedua-dua belah persamaan.

$$3x=\frac{45}{7}$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 3.

$$x=\frac{15}{7}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{15}{7},y=\frac{26}{7}$$