Selesaikan {l}{x-29z=15}{4x+3z=-2}

$$\left. \begin{array} { l } { x - 29 z = 15 } \\ { 4 x + 3 z = - 2 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, z

$$x=-\frac{13}{119}\approx -0.109243697$$

$$z=-\frac{62}{119}\approx -0.521008403$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$x-29z=15,4x+3z=-2$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$x-29z=15$$

Tambahkan 29z pada kedua-dua belah persamaan.

$$x=29z+15$$

Gantikan 29z+15 dengan x dalam persamaan lain, 4x+3z=-2.

$$4\left(29z+15\right)+3z=-2$$

Darabkan 4 kali 29z+15.

$$116z+60+3z=-2$$

Tambahkan 116z pada 3z.

$$119z+60=-2$$

Tolak 60 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$119z=-62$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 119.

$$z=-\frac{62}{119}$$

Gantikan -\frac{62}{119} dengan z dalam x=29z+15. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=29\left(-\frac{62}{119}\right)+15$$

Darabkan 29 kali -\frac{62}{119}.

$$x=-\frac{1798}{119}+15$$

Tambahkan 15 pada -\frac{1798}{119}.

$$x=-\frac{13}{119}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-\frac{13}{119},z=-\frac{62}{119}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$x-29z=15,4x+3z=-2$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}1&-29\\4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\-2\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}1&-29\\4&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-29\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-29\\4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-29\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\-2\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-29\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\-2\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-29\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\-2\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3-\left(-29\times 4\right)}&-\frac{-29}{3-\left(-29\times 4\right)}\\-\frac{4}{3-\left(-29\times 4\right)}&\frac{1}{3-\left(-29\times 4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\-2\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{119}&\frac{29}{119}\\-\frac{4}{119}&\frac{1}{119}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\-2\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{119}\times 15+\frac{29}{119}\left(-2\right)\\-\frac{4}{119}\times 15+\frac{1}{119}\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{13}{119}\\-\frac{62}{119}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan z.

$$x=-\frac{13}{119},z=-\frac{62}{119}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$x-29z=15,4x+3z=-2$$

Untuk menjadikan x dan 4x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 4 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 1.

$$4x+4\left(-29\right)z=4\times 15,4x+3z=-2$$

Permudahkan.

$$4x-116z=60,4x+3z=-2$$

Tolak 4x+3z=-2 daripada 4x-116z=60 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$4x-4x-116z-3z=60+2$$

Tambahkan 4x pada -4x. Seubtan 4x dan -4x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$-116z-3z=60+2$$

Tambahkan -116z pada -3z.

$$-119z=60+2$$

Tambahkan 60 pada 2.

$$-119z=62$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -119.

$$z=-\frac{62}{119}$$

Gantikan -\frac{62}{119} dengan z dalam 4x+3z=-2. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$4x+3\left(-\frac{62}{119}\right)=-2$$

Darabkan 3 kali -\frac{62}{119}.

$$4x-\frac{186}{119}=-2$$

Tambahkan \frac{186}{119} pada kedua-dua belah persamaan.

$$4x=-\frac{52}{119}$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 4.

$$x=-\frac{13}{119}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-\frac{13}{119},z=-\frac{62}{119}$$